Determine o conjunto solução das seguintes inequações:
Passo 1
O enunciado dá a inequação com a função piso:
O que se pede é determinar o conjunto solução, isto é, todos os reais
que satisfazem essa desigualdade. As informações relevantes são apenas a expressão dentro do piso,
, e a constante
.
Passo 2
Vou explicar a propriedade do piso que vou usar. Para um número real qualquer
, a função piso
é o maior inteiro menor ou igual a
. Exemplos rápidos:
Uma propriedade útil é que para todo
vale
Agora mostro a equivalência que nos interessa:
é equivalente a
.
Prova (duas direções):
- Se
, como é inteiro segue . Então, usando , obtemos , logo . - Se
, então . Como é inteiro, . Logo .
Portanto temos a equivalência desejada:
Passo 3
No problema temos
. Aplicando a equivalência do passo anterior, a inequação original é equivalente a
Passo 4
Resolvemos agora a desigualdade obtida:
Para interpretar
: a função
é sempre não negativa; a desigualdade
significa que o número
está estritamente entre as raízes da equação
, ou seja entre
e
. Formalmente,
Note que as extremidades
não satisfazem porque nessas pontos
e
, que não é
. Para referência numérica,
.
Passo 5
Conclusão: o conjunto de todas as soluções é o intervalo aberto entre
e
.