Determine o conjunto solução das seguintes inequações:
\left\lfloor x^{2}-1\right\rfloor \leq 3

Passo 1

O enunciado dá a inequação com a função piso:
\left\lfloor x^{2}-1\right\rfloor \leq 3.
O que se pede é determinar o conjunto solução, isto é, todos os reais x que satisfazem essa desigualdade. As informações relevantes são apenas a expressão dentro do piso, x^{2}-1, e a constante 3.

Passo 2

Vou explicar a propriedade do piso que vou usar. Para um número real qualquer y, a função piso \lfloor y\rfloor é o maior inteiro menor ou igual a y. Exemplos rápidos:
\lfloor 2{,}7\rfloor = 2,\qquad \lfloor -1{,}2\rfloor = -2.
Uma propriedade útil é que para todo y vale
\lfloor y\rfloor \leq y < \lfloor y\rfloor +1.
Agora mostro a equivalência que nos interessa: \lfloor y\rfloor \leq 3 é equivalente a y<4.
Prova (duas direções):
  • Se \lfloor y\rfloor \leq 3, como \lfloor y\rfloor é inteiro segue \lfloor y\rfloor \leq 3 <4. Então, usando \,y<\lfloor y\rfloor+1, obtemos y < \lfloor y\rfloor +1 \leq 4, logo y<4.
  • Se y<4, então \lfloor y\rfloor <4. Como \lfloor y\rfloor é inteiro, \lfloor y\rfloor \leq 3. Logo \lfloor y\rfloor \leq 3.
Portanto temos a equivalência desejada:
\lfloor y\rfloor \leq 3 \quad\Longleftrightarrow\quad y<4.

Passo 3

No problema temos y=x^{2}-1. Aplicando a equivalência do passo anterior, a inequação original é equivalente a
x^{2}-1<4.

Passo 4

Resolvemos agora a desigualdade obtida:
x^{2}-1<4 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}<5.
Para interpretar x^{2}<5: a função x\mapsto x^{2} é sempre não negativa; a desigualdade x^{2}<5 significa que o número x está estritamente entre as raízes da equação x^{2}=5, ou seja entre -\sqrt{5} e \sqrt{5}. Formalmente,
x^{2}<5 \quad\Longleftrightarrow\quad -\sqrt{5}<x<\sqrt{5}.
Note que as extremidades x=\pm\sqrt{5} não satisfazem porque nessas pontos x^{2}-1=4 e \lfloor 4\rfloor = 4, que não é \leq 3. Para referência numérica, \sqrt{5}\approx 2{,}236\ldots.

Passo 5

Conclusão: o conjunto de todas as soluções é o intervalo aberto entre -\sqrt{5} e \sqrt{5}.

Resposta

\displaystyle \left(-\sqrt{5},\;\sqrt{5}\right)

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