Determine o conjunto solução das seguintes inequações:
\lfloor 3 x+2\rfloor \geq 4

Passo 1

O enunciado dá a inequação \lfloor 3x+2\rfloor \geq 4 e pede o conjunto solução, isto é, todos os números reais x que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Entendendo a função piso (função parte inteira inferior): para qualquer número real t,
\lfloor t\rfloor
é o maior inteiro que é menor ou igual a t. Uma propriedade útil e sempre verdadeira é
\lfloor t\rfloor \le t < \lfloor t\rfloor +1.
Exemplos rápidos para fixar a ideia: \lfloor 2{,}7\rfloor = 2, \lfloor -1{,}3\rfloor = -2, \lfloor 5\rfloor = 5.

Passo 3

Substitua t = 3x+2. A desigualdade fica
\lfloor t\rfloor \ge 4.
Usando a propriedade acima, se \lfloor t\rfloor \ge 4 então t \ge \lfloor t\rfloor \ge 4, logo é necessário que t \ge 4. Por outro lado, se t \ge 4 então, como \lfloor t\rfloor é um inteiro menor ou igual a t, obrigatoriamente \lfloor t\rfloor \ge 4. Portanto as duas condições são equivalentes:
\lfloor t\rfloor \ge 4 \iff t \ge 4.

Passo 4

Volte para x usando t=3x+2. A condição equivalente é
3x+2 \ge 4.
Agora resolva essa inequação elementar: subtraindo 2 dos dois lados,
3x \ge 2.
Dividindo por 3>0 (não inverte o sinal),
x \ge \tfrac{2}{3}.

Passo 5

Verificações rápidas para garantir que não houve erro: para x=\tfrac{2}{3} tem-se 3x+2=4 e \lfloor 4\rfloor=4, que satisfaz a desigualdade. Para x<\tfrac{2}{3} por exemplo x=0 tem-se 3\cdot0+2=2 e \lfloor 2\rfloor=2<4, portanto esses x não servem. Tudo consistente.

Resposta

\left[\tfrac{2}{3},\infty\right)

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