Determine o conjunto solução das seguintes equações:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede determinar o conjunto solução (todos os valores de
reais que satisfazem essa igualdade). Informações importantes que temos: o termo
pode ser escrito como potência de
e
pode ser visto como
. Não há outras perguntas — só encontrar os valores de
.
Passo 2
Vamos reescrever termos usando potências de
. Observamos que
é
. Substituindo isso na equação original obtemos
Passo 3
Fazer uma substituição simples facilita muito. Definimos
Aqui vale explicar por que isso é permitido: a função
é positiva para todo
, ou seja
. Portanto a substituição é válida e inversível (cada
corresponde a exatamente um
).
Passo 4
Usando
temos
. Substituindo na equação do Passo 2 obtemos a equação quadrática em
:
Passo 5
Agora resolvemos a quadrática. Podemos tentar fatorar: procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
. Logo
Assim as soluções para
são
Passo 6
Lembremos que
e que
para todo
, então ambas as raízes
e
são admissíveis (são positivas). Agora voltamos a
:
Para
:
Como
, segue
.
Para
:
Como
, segue
.
Passo 7
Sempre bom checar substituindo na equação original.
Para
:
Ok.
Para
:
Ok.
Passo 8
Concluímos que as soluções reais da equação são
e
.