Determine o conjunto solução das seguintes equações:
2^{2 x}+32=12 \cdot 2^{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação
2^{2x}+32=12\cdot 2^{x}
e pede determinar o conjunto solução (todos os valores de x reais que satisfazem essa igualdade). Informações importantes que temos: o termo 32 pode ser escrito como potência de 2 e 2^{2x} pode ser visto como (2^{x})^{2}. Não há outras perguntas — só encontrar os valores de x.

Passo 2

Vamos reescrever termos usando potências de 2. Observamos que 32 é 2^{5}. Substituindo isso na equação original obtemos
2^{2x}+2^{5}=12\cdot 2^{x}.

Passo 3

Fazer uma substituição simples facilita muito. Definimos
y = 2^{x}.
Aqui vale explicar por que isso é permitido: a função x\mapsto 2^{x} é positiva para todo x, ou seja y>0. Portanto a substituição é válida e inversível (cada y>0 corresponde a exatamente um x).

Passo 4

Usando \;y=2^{x}\; temos \;2^{2x}=(2^{x})^{2}=y^{2}. Substituindo na equação do Passo 2 obtemos a equação quadrática em y:
y^{2}-12y+32=0.

Passo 5

Agora resolvemos a quadrática. Podemos tentar fatorar: procuramos dois números cujo produto seja 32 e cuja soma seja 12. Esses números são 4 e 8. Logo
y^{2}-12y+32=(y-4)(y-8).
Assim as soluções para y são
y=4\quad\text{ou}\quad y=8.

Passo 6

Lembremos que y=2^{x} e que 2^{x}>0 para todo x, então ambas as raízes y=4 e y=8 são admissíveis (são positivas). Agora voltamos a x:
Para y=4:
2^{x}=4.
Como 4=2^{2}, segue x=2.
Para y=8:
2^{x}=8.
Como 8=2^{3}, segue x=3.

Passo 7

Sempre bom checar substituindo na equação original.
Para x=2:
2^{2\cdot 2}+32=2^{4}+32=16+32=48,
12\cdot 2^{2}=12\cdot 4=48.
Ok.
Para x=3:
2^{2\cdot 3}+32=2^{6}+32=64+32=96,
12\cdot 2^{3}=12\cdot 8=96.
Ok.

Passo 8

Concluímos que as soluções reais da equação são x=2 e x=3.

Resposta

\{2,3\}

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