Determine o conjunto solução das seguintes inequações.
\frac{2-x}{x+2}>0

Passo 1

O enunciado pede para achar o conjunto solução da inequação \displaystyle \frac{2 - x}{x + 2} > 0.
Isso é uma inequação racional; para resolvê-la vamos precisar (1) determinar o domínio, (2) identificar os pontos em que o numerador ou denominador se anulam, (3) analisar o sinal em cada intervalo e (4) montar a solução.

Passo 2

Determinamos o domínio e os pontos críticos:
— Denominador não pode ser zero, logo x \neq -2.
— Numerador se anula quando 2 - x = 0, ou seja x = 2.
Portanto os pontos que dividem a reta são x = -2 e x = 2.

Passo 3

Analisamos o sinal de cada fator em cada intervalo:
Para o numerador 2 - x:
– é positivo se x < 2,
– é zero em x = 2,
– é negativo se x > 2.
Para o denominador x + 2:
– é negativo se x < -2,
– é zero em x = -2,
– é positivo se x > -2.
A fração \frac{2 - x}{x + 2} é positiva quando numerador e denominador têm o mesmo sinal.

Passo 4

Verificando os intervalos:
  • Em (-\infty,\,-2): numerador é positivo (pois x<2) e denominador é negativo, produto é negativo.
  • Em (-2,\,2): numerador é positivo e denominador é positivo, produto é positivo.
  • Em (2,\,\infty): numerador é negativo e denominador é positivo, produto é negativo.
    Além disso, em x=-2 a expressão não existe e em x=2 a fração vale zero (mas queremos estritamente maior que zero).

Resposta

O conjunto solução é \displaystyle (-2,\,2).

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