Um dos produtos liberados nos acidentes em usinas nucleares é isótopo do estrôncio 90, \mathrm{Sr}^{90}, cuja meia-vida é de 28 anos. Se uma explosão nuclear liberou \mathbf{3 0 ~ g} desse isótopo, determine:
a) A massa desse isótopo 84 anos após essa explosão; R 3.75:
b) O tempo necessário para que a massa desse isótopo seja de \mathbf{1 5} \cdot \mathbf{2}^{\mathbf{- 7}} g. r. 224 anos

Passo 1

O enunciado diz que um isótopo \mathrm{Sr}^{90} com meia-vida de 28\,\mathrm{anos} teve massa inicial de 30\,\mathrm{g} liberada. Pergunta (a) qual a massa após 84\,\mathrm{anos}, e (b) qual o tempo necessário para que a massa seja 15\cdot2^{-7}\,\mathrm{g}. O conteúdo é decaimento radioativo, que usa o modelo exponencial de meia-vida.

Passo 2

No decaimento radioativo, a massa em função do tempo t é
m(t)=m_0\cdot\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\frac{t}{T_{1/2}}},
onde m_0 é a massa inicial e T_{1/2} a meia-vida. Aqui m_0=30\,\mathrm{g} e T_{1/2}=28\,\mathrm{anos}, logo
m(t)=30\cdot\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\frac{t}{28}}.

Passo 3

Para determinar m(84), substituímos t=84:
m(84)=30\cdot\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\frac{84}{28}} =30\cdot\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{3} =30\cdot\tfrac18 =3,75\,\mathrm{g}.

Passo 4

Para achar o tempo t em que m(t)=15\cdot2^{-7}\,\mathrm{g}, resolvemos
30\cdot\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\frac{t}{28}} =15\cdot2^{-7}.
Dividindo por 30 obtemos
\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\frac{t}{28}} =\frac{15\cdot2^{-7}}{30} =\tfrac12\cdot2^{-7} =2^{-8}.
Como \tfrac12=2^{-1}, isso equivale a
2^{-\frac{t}{28}}=2^{-8} \quad\Longrightarrow\quad -\frac{t}{28}=-8 \quad\Longrightarrow\quad t=224\,\mathrm{anos}.

Resposta

(a) 3,75\,\mathrm{g}
(b) 224\,\mathrm{anos}

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