Determine o conjunto solução das seguintes inequações.
\frac{3 x+1}{1-2 x} \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{3x+1}{1-2x}\le 0.
O conteúdo aqui é análise de sinais de uma fração racional. Para isso vamos identificar onde o numerador e o denominador se anulam e depois montar o quadro de sinais.

Passo 2

Encontramos os pontos críticos da razão:
– O numerador 3x+1 se anula em
3x+1=0\;\Longrightarrow\;x=-\tfrac{1}{3}.
– O denominador 1-2x se anula em
1-2x=0\;\Longrightarrow\;x=\tfrac12,
mas esse valor não pertence ao domínio da expressão. Logo o domínio é x\neq \tfrac12.

Passo 3

Vamos analisar o sinal de cada fator em cada intervalo determinado pelos pontos -\infty, -\tfrac13, \tfrac12 e +\infty:
– Para x<-\tfrac13:
\,3x+1<0 e 1-2x>0 (pois x<\tfrac12), então \frac{3x+1}{1-2x}<0.
– Para -\tfrac13<x<\tfrac12:
\,3x+1>0 e 1-2x>0, então \frac{3x+1}{1-2x}>0.
– Para x>\tfrac12:
\,3x+1>0 e 1-2x<0, então \frac{3x+1}{1-2x}<0.

Passo 4

Queremos \frac{3x+1}{1-2x}\le 0. Isso acontece quando a fração for negativa ou zero.
– Negativa em x<-\tfrac13 e em x>\tfrac12.
– Zerada em x=-\tfrac13 (numerador nulo, denominador não nulo).
Não podemos incluir x=\tfrac12 pois o denominador zera aí.

Resposta

\boxed{(-\infty,\,-\tfrac{1}{3}] \,\cup\, \bigl(\tfrac12,\,\infty\bigr)}.

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