Determine o conjunto solução das seguintes inequações:
2<\lfloor x\rfloor<5

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto-resultado das inequações
2<\lfloor x\rfloor<5.
Informações dadas:
  • A incógnita é x (assume-se x\in\mathbb{R}).
  • A expressão envolvida é o piso (função parte inteira) \lfloor x\rfloor.
    A pergunta é: quais são todos os números reais x que satisfazem a desigualdade acima?

Passo 2

Entender bem o que é \lfloor x\rfloor é crucial. Definição e propriedade fundamental:
  • Se n=\lfloor x\rfloor então n é um inteiro e vale
n\le x < n+1.
Aqui n\in\mathbb{Z}. Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • \lfloor 2{,}3\rfloor=2 porque 2\le 2{,}3<3.
  • \lfloor -1{,}2\rfloor=-2 porque -2\le -1{,}2<-1 (o piso “arredonda para baixo” no sentido de ir ao inteiro menor ou igual).

Passo 3

Usar que \lfloor x\rfloor só pode ser inteiros. Das desigualdades
2<\lfloor x\rfloor<5
segue que \lfloor x\rfloor é um inteiro estritamente maior que 2 e estritamente menor que 5. Os inteiros que satisfazem isso são
\lfloor x\rfloor\in\{3,4\}.

Passo 4

Tratar cada caso separadamente usando a definição do piso.
Caso \lfloor x\rfloor=3. Pela definição:
3\le x<4.

Passo 5

Caso \lfloor x\rfloor=4. Pela definição:
4\le x<5.

Passo 6

Juntando os dois casos, o conjunto de soluções é a união dos intervalos obtidos:
[3,4)\cup[4,5)=[3,5).
Interpretação rápida de pontos críticos:
  • x=3 entra (pois \lfloor 3\rfloor=3 e 2<3<5).
  • x=5 não entra (pois \lfloor 5\rfloor=5 e não satisfaz <5).
  • Qualquer x com 3\le x<5 funciona (por exemplo 3{,}5 tem piso 3, 4{,}2 tem piso 4).

Resposta

[3,5)

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