Determine o conjunto solução das seguintes inequações:
\lfloor x\rfloor \leq-1

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto solução da inequação \lfloor x\rfloor \leq -1.
Informações dadas:
  • A incógnita é x\in\mathbb{R}.
  • A função envolvida é \lfloor x\rfloor, o piso (parte inteira inferior) de x.
  • A desigualdade é \lfloor x\rfloor \leq -1.

Passo 2

Definição e propriedade fundamental do piso (para eu te lembrar do básico, passo a passo):
  • Para qualquer x\in\mathbb{R}, \lfloor x\rfloor é o maior inteiro n tal que n\le x.
  • Em termos de inequações, se \lfloor x\rfloor = n (com n\in\mathbb{Z}), então vale
n \le x < n+1.
Exemplos rápidos para fixar:
  • \lfloor 2{,}3\rfloor = 2 e então 2 \le 2{,}3 < 3.
  • \lfloor -1{,}2\rfloor = -2 e então -2 \le -1{,}2 < -1.
  • \lfloor -1\rfloor = -1 e então -1 \le -1 < 0.

Passo 3

Interpretando a inequação \lfloor x\rfloor \leq -1:
  • Como \lfloor x\rfloor é um inteiro, a condição \lfloor x\rfloor \leq -1 significa que \lfloor x\rfloor pode ser qualquer inteiro k com k\le -1.
  • Para cada inteiro k\le -1 temos, pela propriedade do piso,
k \le x < k+1,
ou seja, x\in [k,k+1).

Passo 4

Reunindo todos os possíveis k\le -1 obtemos a união
S=\bigcup_{k\in\mathbb{Z},\;k\le -1} [k,k+1).
Vou mostrar por que essa união corresponde exatamente aos reais estritamente menores que 0.

Passo 5

Prova direta da equivalência mais simples (uma outra via, rápida e elegante):
  • Se x<0, então seja m=\lfloor x\rfloor. Pelo fato de m\le x<0 não é possível m=0, logo m\le -1. Assim \lfloor x\rfloor\le -1.
  • Se \lfloor x\rfloor\le -1, então \lfloor x\rfloor<0. Pela propriedade do piso temos x<\lfloor x\rfloor+1\le 0, logo x<0.
  • Portanto \lfloor x\rfloor\le -1 é equivalente a x<0.

Passo 6

Intuição final e exemplos para checar:
  • Valores como x=-2{,}7: \lfloor -2{,}7\rfloor=-3\le -1 — satisfaz.
  • Valores como x=-0{,}1: \lfloor -0{,}1\rfloor=-1\le -1 — satisfaz.
  • x=0: \lfloor 0\rfloor=0\not\le -1 — não satisfaz.
    Logo todos os x negativos satisfazem e os x\ge 0 não.

Resposta

(-\infty,0)

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