Determine o conjunto solução das seguintes inequações:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto solução da inequação
.
Informações dadas:
- A incógnita é
. - A função envolvida é
, o piso (parte inteira inferior) de . - A desigualdade é
.
Passo 2
Definição e propriedade fundamental do piso (para eu te lembrar do básico, passo a passo):
- Para qualquer
, é o maior inteiro tal que . - Em termos de inequações, se
(com ), então vale
Exemplos rápidos para fixar:
-
e então . -
e então . -
e então .
Passo 3
Interpretando a inequação
:
- Como
é um inteiro, a condição significa que pode ser qualquer inteiro com . - Para cada inteiro
temos, pela propriedade do piso,
ou seja,
.
Passo 4
Reunindo todos os possíveis
obtemos a união
Vou mostrar por que essa união corresponde exatamente aos reais estritamente menores que
.
Passo 5
Prova direta da equivalência mais simples (uma outra via, rápida e elegante):
- Se
, então seja . Pelo fato de não é possível , logo . Assim . - Se
, então . Pela propriedade do piso temos , logo . - Portanto
é equivalente a .
Passo 6
Intuição final e exemplos para checar:
- Valores como
: — satisfaz. - Valores como
: — satisfaz. -
: — não satisfaz.
Logo todos osnegativos satisfazem e os não.