Determine o conjunto solução do sistema e a interpretação geométrica desta solução [cccc1 & -1 & 1 & 1 1 & 1 & -1 & 1 -1 & 1 & -1 & -1 2 & -1 & -1 & 3][lx y z t]=[l0 0 0 0]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema homogêneo
usando eliminação de Gauss para encontrar o espaço solução e depois interpretar geometricamente esse conjunto.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e usamos R1 como pivô para zerar as entradas abaixo:
[cccc|c 1 & -1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & -1 & 1 & 0 -1 & 1 & -1 & -1 & 0 2 & -1 & -1 & 3 & 0 ]
Aplicando
R2 R2-R1, R3 R3+R1, R4 R4-2R1
obtém-se
[cccc|c 1 & -1 & 1 & 1 & 0 0 & 2 & -2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & -3 & 1 & 0 ]

Passo 3

Trocamos R2 e R4, obtemos
[cccc|c 1 & -1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & -3 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & -2 & 0 & 0 ]
Em seguida, zeramos a coluna 2 em R1,R4:
R1 R1+R2, R4 R4-2R2
ficando
[cccc|c 1 & 0 & -2 & 2 & 0 0 & 1 & -3 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 4 & -2 & 0 ]

Passo 4

Dividimos R4 por 4 e obtemos o pivô em z:
R4 tfrac14R4 Longrightarrow [cccc|c 1 & 0 & -2 & 2 & 0 0 & 1 & -3 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -tfrac12 & 0 ]
Por fim, zeramos acima em R1,R2:
R1 R1+2R4, R2 R2+3R4
e chegamos à forma reduzida
[cccc|c 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & -tfrac12 & 0 0 & 0 & 1 & -tfrac12 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]
Dessa forma,
x + t = 0, y - tfrac12t = 0, z - tfrac12t = 0,
ou seja
x = -t, y = tfrac12t, z = tfrac12t, t livre

Passo 5

Colocando t=s como parâmetro, a solução geral é
(x,y,z,t) = sl(-1,tfrac12,tfrac12,1r), sinR
Geometricamente, isso é uma reta unidimensional passando pela origem em R^4, ou seja o subespaço gerado pelo vetor l(-1,tfrac12,tfrac12,1r).

Resposta

(x,y,z,t)inR^4 mid (x,y,z,t) =s(-1,tfrac12,tfrac12,1),;sinR,
que geometricamente é uma reta por 0 em R^4.

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