Se
e
são matrizes simétricas que comutam entre si então a matriz
também é simétrica ? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta se, dadas duas matrizes quadradas
e
que são simétricas e comutam entre si, a matriz
também é simétrica. O conteúdo envolve as definições de matriz simétrica, propriedades de transposta e o fato de que matrizes que comutam permitem reordenar produtos.
Passo 2
Como
e
são simétricas, vale
Além disso, como elas comutam, temos
Passo 3
Da comutação segue imediatamente que
Passo 4
Para verificar simetria de
, calculamos sua transposta:
Como
, concluímos que
é simétrica.
Resposta
Sim. A matriz
é simétrica pois