Se A e B são matrizes simétricas que comutam entre si então a matriz B cdot A^2 também é simétrica ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas duas matrizes quadradas A e B que são simétricas e comutam entre si, a matriz B,A^2 também é simétrica. O conteúdo envolve as definições de matriz simétrica, propriedades de transposta e o fato de que matrizes que comutam permitem reordenar produtos.

Passo 2

Como A e B são simétricas, vale
A^T=A e B^T=B
Além disso, como elas comutam, temos
A,B = B,A

Passo 3

Da comutação segue imediatamente que
A^2B = A,(A,B) = A,(B,A) = (A,B),A = (B,A),A = B,(A,A) = B,A^2

Passo 4

Para verificar simetria de B,A^2, calculamos sua transposta:
l(B,A^2r)^T = l(A^2r)^T,B^T = A^2,B oversetPasso 3= B,A^2
Como l(B,A^2r)^T=B,A^2, concluímos que B,A^2 é simétrica.

Resposta

Sim. A matriz B,A^2 é simétrica pois
l(B,A^2r)^T = A^2,B = B,A^2

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