Determine um conjunto se soluções linearmente independentes para cada uma das equações diferenciais ordinárias lineares de ordem n abaixo:
Passo 1
Resumimos o enunciado: resolver a EDO linear homogênea com coeficientes constantes
Para isso, vamos achar as raízes do polinômio característico e usar a teoria de multiplicidades de raízes reais e complexas.
Passo 2
O polinômio característico é
As raízes são
⇒
, cada uma com multiplicidade
,
⇒
e
, cada uma com multiplicidade
.
Passo 3
Para cada raiz real
de multiplicidade
e
, as soluções são
Logo obtemos
Passo 4
Para o par de raízes complexas conjugadas
com multiplicidade
, extraímos as partes real e imaginária de
multiplicadas por
para
. Assim surgem as soluções
Resposta
Um conjunto de 10 soluções linearmente independentes é: