Determine um conjunto se soluções linearmente independentes para cada uma das equações diferenciais ordinárias lineares de ordem n abaixo:
\left(D^{2}-4 D+5\right)^{3}\left(D^{2}-4 D+3\right)^{2} \omega=0

Passo 1

Resumimos o enunciado: resolver a EDO linear homogênea com coeficientes constantes
(D^2 - 4D + 5)^3\,(D^2 - 4D + 3)^2\,\omega = 0.
Para isso, vamos achar as raízes do polinômio característico e usar a teoria de multiplicidades de raízes reais e complexas.

Passo 2

O polinômio característico é
(r^2 - 4r + 5)^3\,(r^2 - 4r + 3)^2 = 0.
As raízes são r^2 - 4r + 5 = 0 r = 2 \pm i, cada uma com multiplicidade 3, r^2 - 4r + 3 = 0 r = 1 e r = 3, cada uma com multiplicidade 2.

Passo 3

Para cada raiz real r de multiplicidade 2 r=1 e r=3, as soluções são
e^{rt},\quad t\,e^{rt}.
Logo obtemos \omega_7 = e^t,\;\omega_8 = t e^t,\;\omega_9 = e^{3t},\;\omega_{10} = t e^{3t}.

Passo 4

Para o par de raízes complexas conjugadas 2\pm i com multiplicidade 3, extraímos as partes real e imaginária de e^{(2+i)t} multiplicadas por t^k para k=0,1,2. Assim surgem as soluções
e^{2t}\cos t,\quad e^{2t}\sin t,\quad t\,e^{2t}\cos t,\quad t\,e^{2t}\sin t,\quad t^2 e^{2t}\cos t,\quad t^2 e^{2t}\sin t.

Resposta

Um conjunto de 10 soluções linearmente independentes é:
e^{2t}\cos t,\quad e^{2t}\sin t,\quad t\,e^{2t}\cos t,\quad t\,e^{2t}\sin t,\quad t^2 e^{2t}\cos t,\quad t^2 e^{2t}\sin t,\quad e^t,\quad t e^t,\quad e^{3t},\quad t e^{3t}.

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