Determine uma solução particular, usando o Método da Variação dos Parâmetros, para a seguinte equação diferencial ordinária linear:
\omega^{\prime \prime}-2 a \omega^{\prime}+a^{2} \omega=e^{a x}

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da equação
\omega'' - 2a\,\omega' + a^2\,\omega = e^{a x}
usando o método da variação de parâmetros. Aqui o homogêneo associado tem coeficientes constantes, com raiz dupla r=a, então primeiro achamos as soluções fundamentais da homogênea.

Passo 2

Resolvendo o homogêneo
\omega'' - 2a\,\omega' + a^2\,\omega = 0
temos a equação característica r^2 - 2a r + a^2 =0 com raiz dupla r=a. Logo as soluções fundamentais são
y_1(x) = e^{a x}, \qquad y_2(x) = x\,e^{a x}.

Passo 3

Calculamos o Wronskiano de y_1,y_2:
W(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\[6pt] y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^{a x} & x\,e^{a x} \\[3pt] a\,e^{a x} & (1 + a x)\,e^{a x} \end{vmatrix} = e^{2a x}\bigl[(1+ax)-ax\bigr]=e^{2a x}.]

Passo 4

Pelas fórmulas de variação de parâmetros, se escrevemos a particular como
\omega_p = u_1(x)\,y_1(x) + u_2(x)\,y_2(x),
então
u_1'(x) = -\frac{f(x)\,y_2(x)}{W(x)}, \qquad u_2'(x) = \frac{f(x)\,y_1(x)}{W(x)},
onde f(x)=e^{a x}. Substituindo:
u_1'(x) = -\frac{e^{a x}\cdot (x\,e^{a x})}{e^{2a x}} = -x, \qquad u_2'(x) = \frac{e^{a x}\cdot e^{a x}}{e^{2a x}} = 1.

Passo 5

Integramos para achar u_1,u_2:
u_1(x) = \int (-x)\,dx = -\tfrac{x^2}{2}, \qquad u_2(x) = \int 1\,dx = x.

Passo 6

A solução particular é
\omega_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = \Bigl(-\tfrac{x^2}{2}\Bigr)e^{a x} \;+\; x\,(x\,e^{a x}) = \tfrac{x^2}{2}\,e^{a x}.

Resposta

A solução particular obtida por variação de parâmetros é
\boxed{\omega_p(x) = \frac{x^2}{2}\,e^{a x}.}

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