Determine um conjunto se soluçōes linearmente independentes para cada uma das equações diferenciais ordinárias lineares de ordem n abaixo:
\left(D^{2}-2 a D+a^{2}+b^{2}\right)^{3}(D-c)^{2} \omega=0

Passo 1

O enunciado pede determinar um conjunto de soluções linearmente independentes da EDO homogênea com coeficientes constantes
\bigl(D^{2}-2aD+a^{2}+b^{2}\bigr)^{3}(D-c)^{2}\,\omega=0.
O conteúdo aqui é a teoria de equações lineares de coeficientes constantes: obter o polinômio característico, encontrar suas raízes (reais repetidas e complexas) e gerar as soluções fundamentais associadas.

Passo 2

O polinômio característico p(r) é dado por substituir D por r:
p(r)=\bigl(r^{2}-2ar+a^{2}+b^{2}\bigr)^{3}\,(r-c)^{2}.

Passo 3

Das duas fatores obtemos as raízes e suas multiplicidades:
r=c, multiplicidade 2.
r=a\pm i\,b, cada uma com multiplicidade 3.

Passo 4

Sabemos que para uma raiz real r_{0} de multiplicidade m as soluções são
e^{r_{0}x},\;x\,e^{r_{0}x},\;\dots,\;x^{m-1}e^{r_{0}x},
e para um par complexo a\pm i\,b de mesma multiplicidade m as soluções são
e^{ax}\cos(bx),\;e^{ax}\sin(bx),\;x\,e^{ax}\cos(bx),\;x\,e^{ax}\sin(bx),\;\dots,\;x^{m-1}e^{ax}\cos(bx),\;x^{m-1}e^{ax}\sin(bx).

Passo 5

Aplicando isso:
Para r=c (multiplicidade 2) as soluções são
e^{cx},\quad x\,e^{cx}.
Para r=a\pm i\,b (multiplicidade 3) as soluções são
e^{ax}\cos(bx),\;e^{ax}\sin(bx),\;x\,e^{ax}\cos(bx),\;x\,e^{ax}\sin(bx),\;x^{2}e^{ax}\cos(bx),\;x^{2}e^{ax}\sin(bx).

Resposta

e^{cx},\;x\,e^{cx},\;e^{ax}\cos(bx),\;e^{ax}\sin(bx),\;x\,e^{ax}\cos(bx),\;x\,e^{ax}\sin(bx),\;x^{2}e^{ax}\cos(bx),\;x^{2}e^{ax}\sin(bx).

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