Determine um conjunto se soluçōes linearmente independentes para cada uma das equações diferenciais ordinárias lineares de ordem n abaixo:
Passo 1
O enunciado pede determinar um conjunto de soluções linearmente independentes da EDO homogênea com coeficientes constantes
O conteúdo aqui é a teoria de equações lineares de coeficientes constantes: obter o polinômio característico, encontrar suas raízes (reais repetidas e complexas) e gerar as soluções fundamentais associadas.
Passo 2
O polinômio característico
é dado por substituir
por
:
Passo 3
Das duas fatores obtemos as raízes e suas multiplicidades:
– , multiplicidade
.
– , cada uma com multiplicidade
.
–
–
Passo 4
Sabemos que para uma raiz real
de multiplicidade
as soluções são
e para um par complexo
de mesma multiplicidade
as soluções são
Passo 5
Aplicando isso:
Para (multiplicidade 2) as soluções são
Para
Para
(multiplicidade 3) as soluções são