Determine um conjunto se soluçōes linearmente independentes para cada uma das equações diferenciais ordinárias lineares de ordem n abaixo:
(D+1)^{3}(D+4)^{3}\left(D^{2}-D-2\right)^{3} \omega=0

Passo 1

O enunciado pede para achar um conjunto de soluções linearmente independentes da EDO homogênea de coeficientes constantes
(D+1)^{3}(D+4)^{3}\bigl(D^{2}-D-2\bigr)^{3}\,\omega=0.
O conteúdo aqui é o método do polinômio característico: trocamos D por r, encontramos raízes e suas multiplicidades, e então montamos as soluções t^k e^{rt}.

Passo 2

O polinômio característico é
\chi(r)=(r+1)^{3}(r+4)^{3}\bigl(r^{2}-r-2\bigr)^{3}.
Fatorando r^{2}-r-2=(r-2)(r+1), obtemos
\chi(r)=(r+1)^{3}(r+4)^{3}(r-2)^{3}(r+1)^{3}=(r+1)^{6}(r+4)^{3}(r-2)^{3}.
As raízes são \;r=-1 de multiplicidade 6, \;r=-4 de multiplicidade 3 e \;r=2 de multiplicidade 3.

Passo 3

Para cada raiz r_{0} de multiplicidade m temos as m soluções independentes
t^0 e^{r_{0}t},\;t^1 e^{r_{0}t},\;\dots,\;t^{m-1}e^{r_{0}t}.
Logo:
– Para r=-1 (mult. 6) as soluções são
e^{-t},\;t\,e^{-t},\;t^{2}e^{-t},\;t^{3}e^{-t},\;t^{4}e^{-t},\;t^{5}e^{-t}.
– Para r=-4 (mult. 3) as soluções são
e^{-4t},\;t\,e^{-4t},\;t^{2}e^{-4t}.
– Para r=2 (mult. 3) as soluções são
e^{2t},\;t\,e^{2t},\;t^{2}e^{2t}.

Resposta

Um conjunto fundamental de soluções é
\bigl\{\,e^{-t},\,t\,e^{-t},\,t^{2}e^{-t},\,t^{3}e^{-t},\,t^{4}e^{-t},\,t^{5}e^{-t},\;e^{-4t},\,t\,e^{-4t},\,t^{2}e^{-4t},\;e^{2t},\,t\,e^{2t},\,t^{2}e^{2t}\bigr\}.

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