Seja V=R^4 e W=(x1, x2, x3, x4) in R^4: x1+x2-x3=0. Mostre que W é um subespaço e determine sua dimensão.

Passo 1

O enunciado define o espaço V=R^4 e o subconjunto
W=l(x1,x2,x3,x4)inR^4 : x1 + x2 - x3 = 0r
O objetivo é (i) mostrar que W é subespaço vetorial de R^4 e (ii) encontrar a dimensão de W. Vamos usar o fato de que para ser subespaço basta verificar que W contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar; e depois escrever uma descrição paramétrica de W para extrair uma base.

Passo 2

Verificando que W é subespaço:
  1. (Vetor zero) O vetor (0,0,0,0) satisfaz
    0 + 0 - 0 = 0,
    logo (0,0,0,0)in W.
  2. (Fechamento sob soma) Tomemos
    u=(u1,u2,u3,u4)in W e
    v=(v1,v2,v3,v4)in W.
    Isso significa u1+u2-u3=0 e v1+v2-v3=0. Então
    (u+v)1 + (u+v)2 - (u+v)3 = (u1+v1)+(u2+v2)-(u3+v3) = (u1+u2-u3)+(v1+v2-v3) = 0+0 = 0
    Logo u+vin W.
  3. (Fechamento sob multiplicação escalar) Para lambdainR e uin W,
    (lambdau)1 + (lambdau)2 - (lambdau)3 = lambda(u1+u2-u3) = lambdacdot 0 = 0,
    então lambdauin W.
Como W contém o zero e é fechado sob soma e escalares, concluímos que W é subespaço de R^4.

Passo 3

Para achar dim W, escrevemos a condição x1+x2-x3=0 como
x1 = -,x2 + x3
Assim, um vetor genérico de W pode ser escrito
(x1,x2,x3,x4) = l(-x2+x3,;x2,;x3,;x4r) = x2,(-1,1,0,0) ;+; x3,(1,0,1,0);+; x4,(0,0,0,1),
onde x2,x3,x4inR são parâmetros livres.
Logo os vetores
e1 = (-1,1,0,0), e2 = (1,0,1,0), e3 = (0,0,0,1)
geram W. É fácil ver que e1,e2,e3 é um conjunto linearmente independente em R^4. Portanto é uma base de W, e
dim W = 3

Resposta

W é subespaço de R^4 e dim W = 3.

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