Seja
e
. Mostre que
é um subespaço e determine sua dimensão.
Passo 1
O enunciado define o espaço
e o subconjunto
O objetivo é (i) mostrar que
é subespaço vetorial de
e (ii) encontrar a dimensão de
. Vamos usar o fato de que para ser subespaço basta verificar que
contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar; e depois escrever uma descrição paramétrica de
para extrair uma base.
Passo 2
Verificando que
é subespaço:
-
(Vetor zero) O vetor
satisfaz logo. -
(Fechamento sob soma) Tomemos
e
.
Isso significae . Então Logo. -
(Fechamento sob multiplicação escalar) Para
e , então.
Como
contém o zero e é fechado sob soma e escalares, concluímos que
é subespaço de
.
Passo 3
Para achar
, escrevemos a condição
como
Assim, um vetor genérico de
pode ser escrito
onde
são parâmetros livres.
Logo os vetores
Logo os vetores
geram
. É fácil ver que
é um conjunto linearmente independente em
. Portanto é uma base de
, e