Determine o conjunto W subespaço de M3 times 2 gerado pelas matrizes [ll0 & 0 1 & 1 0 & 0],[cc0 & 1 0 & -1 1 & 0] e [ll0 & 1 0 & 0 0 & 0]. Em seguida, verifique se a matriz [ll0 & 2 1 & 2 3 & 0] in W.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o subespaço Wsubseteq M3times2 gerado pelas matrizes
A = 0 & 0 1 & 1 0 & 0, B = 0 & 1 0 & -1 1 & 0, C = 0 & 1 0 & 0 0 & 0
e em seguida verificar se
D = 0 & 2 1 & 2 3 & 0
pertence a W. Vamos usar o conceito de combinação linear de matrizes.

Passo 2

Para descrever W, montamos uma combinação linear genérica
X = xA + yB + zC,
onde x,y,zinR. A ideia é escrever as entradas de X em função de x,y,z.

Passo 3

Substituindo as três matrizes em X temos
X = x0 & 0 1 & 1 0 & 0 + y0 & 1 0 & -1 1 & 0 + z0 & 1 0 & 0 0 & 0 = 0 & y+z x & x-y y & 0
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W = 0 & y+z x & x-y y & 0 m|x,y,zinR

Passo 4

Para checar se Din W, igualamos
0 & 2 1 & 2 3 & 0 = 0 & y+z x & x-y y & 0 ,
o que dá o sistema
y+z=2, x=1, x-y=2, y=3
Da última equação vem y=3. Substituindo em x-y=2 1-3=-2neq2, logo não há solução.

Resposta

W = 0 & y+z x & x-y y & 0 m|x,y,zinR, Dnotin W

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