Determine o subespaço gerado pelo conjunto de matrizes [cc2 & -3 1 & 1],[cc4 & -6 2 & 2],[ll0 & 2 1 & 0] contido no Espaço Vetorial de matrizes de ordem 2.

Passo 1

O enunciado pede o subespaço gerado pelo conjunto
lA1=2 & -3 [4pt]1 & 1,,A2=4 & -6 [4pt]2 & 2,,A3=0 & 2 [4pt]1 & 0r
no espaço vetorial das matrizes 2times2. Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear, dependência/independência linear e base de um subespaço.]

Passo 2

Observamos que
A2 = 2,A1
pois
22 & -3 [4pt]1 & 1 = 4 & -6 [4pt]2 & 2
Logo A2 é combinação linear de A1 e não acrescenta dimensão ao span.]

Passo 3

Resta então estudar
Isso dá o sistema
Da primeira e da última equações vem . Logo são linearmente independentes.

Passo 4

Qualquer combinação linear no span pode ser escrita como
X = alpha A1 + beta A3 = alpha2 & -3 [4pt]1 & 1 + beta0 & 2 [4pt]1 & 0 = 2alpha & -3alpha +2beta [4pt] alpha+beta & alpha ,
com alpha,betainR.]

Passo 5

Portanto o subespaço é bidimensional, com base
l,A1,;A3r
e pode ser descrito por
l, 2alpha & -3alpha+2beta [4pt] alpha+beta & alpha ;m|;alpha,betainRr ]

Resposta

O subespaço gerado é
SpanlA1,A3r =lalpha A1+beta A3midalpha,betainRr,
isto é, o conjunto de todas as matrizes
2alpha & -3alpha+2beta [4pt] alpha+beta & alpha ,
com alpha,betainR, cuja base pode ser tomada por
lA1,A3r.]

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