Determine se o conjunto de vetores de R^2 são LI ou LD:
S=(-1,2),(2,-4)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S=(-1,2),(2,-4)subsetR^2
é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).
Para isso vamos usar a definição: \emph{os vetores v1 e v2 são LI se a única solução da combinação
a,v1 + b,v2 = (0,0) for a=b=0; caso contrário são LD.}

Passo 2

Chamando
v1 = (-1,2) e v2 = (2,-4),
montamos a equação
a,(-1,2) + b,(2,-4) = (0,0)
Isso gera o sistema
-,a + 2,b = 0, 2,a -4,b = 0

Passo 3

Observamos que a segunda equação é simplesmente o dobro da primeira, ou seja, ambas se reduzem a
-,a + 2,b = 0 Long<=ftrightarrow a = 2,b
Logo existem infinitas soluções não triviais (por exemplo, b=1 a=2). Isso mostra que há combinação linear não nula que produz o vetor zero.

Passo 4

Como existe solução com (a,b)neq(0,0), o conjunto é linearmente dependente. Além disso, nota-se diretamente que
(2,-4) = -2,(-1,2),
isto é, v2 é múltiplo de v1.

Resposta

O conjunto S é linearmente dependente (LD).

Exercícios relacionados