Determine o conjunto de valores reais de lambda para que a equação x^2+y^2+z^2-6x-2y-4z=lambda-5 represente um conjunto vazio.

Passo 1

O enunciado pede os valores de lambdainR tais que a equação
x^2+y^2+z^2-6x-2y-4z=lambda-5
não tenha nenhum ponto real que a satisfaça.
Este tipo de equação é de uma esfera em R^3. Para aparecer um conjunto vazio, o raio ao quadrado dessa esfera precisa ser negativo.

Passo 2

Reescrevemos agrupando os termos quadráticos e lineares de cada variável:
x^2-6x ;+; y^2-2y ;+; z^2-4z ;=;lambda-5

Passo 3

Agora completamos o quadrado em cada grupo:
x^2-6x = (x-3)^2-9, y^2-2y = (y-1)^2-1, z^2-4z = (z-2)^2-4
Somando,
x^2-6x+y^2-2y+z^2-4z = (x-3)^2+(y-1)^2+(z-2)^2 -14
Substituindo na equação original,
(x-3)^2+(y-1)^2+(z-2)^2 -14 = lambda-5 Longrightarrow (x-3)^2+(y-1)^2+(z-2)^2 = lambda+9

Passo 4

Como soma de três quadrados é sempre >=0, para existirem pontos reais deve-se ter
lambda + 9 ;>=; 0
Se lambda+9<0, isto é lambda<-9, o raio ao quadrado fica negativo e não há solução real.

Resposta

lambda< -9

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