Verifique se:
a) é um subespaço de .
b) é um subespaço de M2 times 2.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na primeira parte do exercício. A gente precisa verificar se o conjunto S = (x, y, z) in R^3 ; x >= 0 é um subespaço de R^3 . Para isso, vamos usar os conceitos de subespaço vetorial. Um subespaço precisa satisfazer três condições básicas: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em S . O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0) . Nesse caso, x = 0 , que satisfaz x >= 0 . Então, o vetor zero está em S .
Passo 3
Agora, vamos ver se S é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em S , a soma deles também deve estar em S . Seja u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) em S . Então:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
Para que u + v esteja em S , x1 + x2 precisa ser maior ou igual a zero. Mas, se x1 e x2 forem positivos, tudo bem. Porém, se um deles for zero e o outro for positivo, também está ok. Mas e se ambos forem zero? Ainda funciona. Logo, parece que está fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos checar se S é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se pegarmos um vetor qualquer em S e multiplicarmos por qualquer escalar real, o resultado também deve estar em S . Seja u = (x, y, z) em S e c um escalar real. Então:
c cdot u = (c x, c y, c z)
Para que c cdot u esteja em S , c x >= 0 precisa ser verdadeiro. Mas, se c for negativo e x for positivo, então c x seria negativo, o que não satisfaz x >= 0 . Isso quebra a condição de fechamento sob multiplicação por escalar.
Resposta
a) O conjunto S = (x, y, z) in R^3 ; x >= 0 não é um subespaço de R^3 , pois não é fechado sob multiplicação por escalar.
b) O conjunto S = a & b b & c ; a, b, c in R é um subespaço de M2 times 2 , pois satisfaz todas as condições de subespaço vetorial.