Seja
A=[ccc -1 & 14 & 3 0 & -4 & 2 0 & -4 & 2 ]
A é diagonalizável? Se for, encontre P tal que A=P D P^-1, com D diagonal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A questão pede para a gente descobrir se a matriz A é diagonalizável e, se for, encontrar uma matriz P tal que A = P D P^-1 , onde D é uma matriz diagonal. Para isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A . Os autovalores são os valores de lambda que satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A .

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I :
A - lambda I = -1 - lambda & 14 & 3 0 & -4 - lambda & 2 0 & -4 & 2 - lambda
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (-1 - lambda) cdot det -4 - lambda & 2 -4 & 2 - lambda

Passo 4

Calculando o determinante da submatriz:
det -4 - lambda & 2 -4 & 2 - lambda = (-4 - lambda)(2 - lambda) - (2)(-4) = (lambda + 4)(lambda - 2) + 8
Expandindo:
(lambda + 4)(lambda - 2) = lambda^2 + 2lambda - 8
Então:
lambda^2 + 2lambda - 8 + 8 = lambda^2 + 2lambda

Passo 5

Voltando ao determinante total:
det(A - lambda I) = (-1 - lambda)(lambda^2 + 2lambda) = -lambda(lambda + 1)(lambda + 2)
Igualando a zero:
-lambda(lambda + 1)(lambda + 2) = 0 implies lambda = 0, -1, -2

Passo 6

Agora que temos os autovalores lambda = 0 , lambda = -1 e lambda = -2 , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.

Passo 7

Para lambda = 0 :
Resolvemos (A - 0I)v = Av = 0 :
-1 & 14 & 3 0 & -4 & 2 0 & -4 & 2 v1 v2 v3 = 0 0 0
Simplificando as equações:
- v1 + 14 v2 + 3 v3 = 0 -4 v2 + 2 v3 = 0
Da segunda equação: -4 v2 + 2 v3 = 0 implies v3 = 2 v2
Substituindo na primeira equação:
- v1 + 14 v2 + 3(2 v2) = -v1 + 20 v2 = 0 implies v1 = 20 v2
Então, o autovetor é proporcional a 20 1 2 .

Passo 8

Para lambda = -1 :
Resolvemos (A + I)v = 0 :
0 & 14 & 3 0 & -3 & 2 0 & -4 & 3 v1 v2 v3 = 0 0 0
Simplificando as equações:
0 v1 + 14 v2 + 3 v3 = 0 -3 v2 + 2 v3 = 0 -4 v2 + 3 v3 = 0
Da segunda equação: -3 v2 + 2 v3 = 0 implies v3 = 32 v2
Substituindo na primeira equação:
14 v2 + 3 ( 32 v2 ) = 14 v2 + 92 v2 = 372 v2 = 0 implies v2 = 0 implies v3 = 0
Isso implica que qualquer valor de v1 é válido. Então, o autovetor é proporcional a 1 0 0 .

Passo 9

Para lambda = -2 :
Resolvemos (A + 2I)v = 0 :
1 & 14 & 3 0 & -2 & 2 0 & -4 & 4 v1 v2 v3 = 0 0 0
Simplificando as equações:
v1 + 14 v2 + 3 v3 = 0 -2 v2 + 2 v3 = 0 -4 v2 + 4 v3 = 0
Da segunda equação: -2 v2 + 2 v3 = 0 implies v3 = v2
Substituindo na primeira equação:
v1 + 14 v2 + 3 v2 = v1 + 17 v2 = 0 implies v1 = -17 v2
Então, o autovetor é proporcional a -17 1 1 .

Passo 10

Agora que temos três autovetores lineares independentes:
v1 = 20 1 2, v2 = 1 0 0, v3 = -17 1 1
Podemos formar a matriz P colocando esses vetores como colunas:
P = 20 & 1 & -17 1 & 0 & 1 2 & 0 & 1
E a matriz diagonal D com os autovalores na diagonal:
D = 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -2

Resposta

Sim, a matriz A é diagonalizável. Uma matriz P que satisfaz A = P D P^-1 é:
P = 20 & 1 & -17 1 & 0 & 1 2 & 0 & 1
e a matriz diagonal D é:
D = 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -2

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