Seja
A=[ccc -1 & 14 & 3 0 & -4 & 2 0 & -4 & 2 ]
Encontre todos os autovetores de A linearmente independente associados aos autovalores.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= -1 & 14 & 3 0 & -4 & 2 0 & -4 & 2
e pede todos os autovetores de A linearmente independentes associados a cada autovalor. Para isso vamos (1) calcular o polinômio característico e achar os autovalores, (2) para cada autovalor resolver (A-lambda I)v=0.

Passo 2

O polinômio característico é
det(A-lambda I) =det -1-lambda & 14 & 3 0 & -4-lambda & 2 0 & -4 & 2-lambda
Como a primeira coluna tem zeros abaixo do pivô,
det(A-lambda I) =(-1-lambda)det-4-lambda & 2-4 & 2-lambda
Calculando o menor:
(-4-lambda)(2-lambda)-2cdot(-4) =lambda^2+2lambda-8+8=lambda(lambda+2)
Logo
det(A-lambda I)=(-1-lambda),lambda,(lambda+2) =-(lambda+1),lambda,(lambda+2),
de onde os autovalores são
lambda1=-1, lambda2=0, lambda3=-2

Passo 3

Para resolvemos , i.e.
As duas últimas linhas implicam e . A primeira não restringe . Então
é um gerador do autoespaço de .

Passo 4

Para
Da segunda equação vem . Logo
gera o autoespaço de .

Passo 5

Para resolvemos , i.e.
Da segunda linha vem , e da primeira . Logo
gera o autoespaço de .

Resposta

Os vetores linearmente independentes que formam uma base de autovetores de A são:
lambda=-1:;(1,0,0)^T, lambda=0:;(20,1,2)^T, lambda=-2:;(-17,1,1)^T

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