Determine o conjunto dos valores x in R para o qual são válidas as seguintes desigualdades
(i) 2 x-7<0.
(ii) x^2-5 x>0.
(iii) x^2-5 x <=-6.
(iv) -x^2+5 x-20>0.
(v) -x^2+5 x-20<0.
(vi) 4 x^2+12 x+9 <= 0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, em R, as soluções de várias desigualdades lineares e quadráticas. Vamos usar isolamento de termos em equivalências para a desigualdade linear e análise de sinais (ou fatoração) para as quadráticas, verificando raízes e o sinal do coeficiente líder.

Passo 2

Para (i) 2x - 7 < 0 usamos isolamento de x. Somamos 7 em ambos os lados e depois dividimos por 2:
2x < 7
x < tfrac72
Logo, a solução é ( -infty, tfrac72 ).

Passo 3

Na (ii) x^2 - 5x > 0 fatoramos em x(x - 5) > 0. As raízes são 0 e 5. Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola fica acima do eixo x fora do intervalo entre as raízes. Portanto:
x < 0ou x > 5
e a solução é ( -infty, 0 ) cup ( 5, infty ).

Passo 4

Em (iii) x^2 - 5x <= -6 trazemos -6 para o lado esquerdo:
x^2 - 5x + 6 <= 0
Fatorando, (x - 2)(x - 3) <= 0. O coeficiente de x^2 é positivo, então a expressão é não-positiva entre as raízes incluídas. Assim:
2 <= x <= 3
Solução: [2,3].

Passo 5

Para (iv) -x^2 + 5x - 20 > 0 vemos que isso equivale a
x^2 - 5x + 20 < 0
O discriminante é De, logo o trinômio é sempre positivo e nunca fica abaixo de zero. Portanto não há solução em R, ou seja, emptyset.

Passo 6

Na (v) -x^2 + 5x - 20 < 0 reescrevemos como
x^2 - 5x + 20 > 0
Como vimos, o discriminante negativo faz o trinômio ser sempre positivo. Logo a desigualdade é verdadeira para todo xinR. Solução: R.

Passo 7

Por fim, em (vi) 4x^2 + 12x + 9 <= 0 notamos que isso é
(2x + 3)^2 <= 0
Um quadrado só pode ser zero. Assim só vale para
2x + 3 = 0 implies x = -tfrac32
Solução: {,-\tfrac{3}{2},}.

Resposta

(i) ( -infty, tfrac72 )
(ii) ( -infty, 0 ) cup ( 5, infty )
(iii) [2,3]
(iv) emptyset
(v) R
(vi) {,-\tfrac{3}{2},}

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