Determine o conjunto dos valores
para o qual são válidas as seguintes desigualdades
(i)
.
(ii)
.
(iii)
.
(iv)
.
(v)
.
(vi)
.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, em
, as soluções de várias desigualdades lineares e quadráticas. Vamos usar isolamento de termos em equivalências para a desigualdade linear e análise de sinais (ou fatoração) para as quadráticas, verificando raízes e o sinal do coeficiente líder.
Passo 2
Para (i)
usamos isolamento de
. Somamos 7 em ambos os lados e depois dividimos por 2:
Logo, a solução é
.
Passo 3
Na (ii)
fatoramos em
. As raízes são
e
. Como o coeficiente de
é positivo, a parábola fica acima do eixo
fora do intervalo entre as raízes. Portanto:
e a solução é
.
Passo 4
Em (iii)
trazemos
para o lado esquerdo:
Fatorando,
. O coeficiente de
é positivo, então a expressão é não-positiva entre as raízes incluídas. Assim:
Solução:
.
Passo 5
Para (iv)
vemos que isso equivale a
O discriminante é
, logo o trinômio é sempre positivo e nunca fica abaixo de zero. Portanto não há solução em
, ou seja,
.
Passo 6
Na (v)
reescrevemos como
Como vimos, o discriminante negativo faz o trinômio ser sempre positivo. Logo a desigualdade é verdadeira para todo
. Solução:
.
Passo 7
Por fim, em (vi)
notamos que isso é
Um quadrado só pode ser zero. Assim só vale para
Solução: {,-\tfrac{3}{2},}.
Resposta
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi) {,-\tfrac{3}{2},}
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi) {,-\tfrac{3}{2},}