Determine o conjunto dos valores de x para os quais as funções abaixo são crescentes:
f(x)=x^{2}-\ln x

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de x em que a função
f(x)=x^{2}-\ln x
é crescente. Como a parte -\ln x exige x>0, o domínio é (0,\infty). Para estudar crescimento, vamos calcular a derivada f'(x) e analisar onde ela é não-negativa.

Passo 2

Calculando a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr) =2x-\frac{1}{x}.

Passo 3

Para ter f crescente, precisamos de
f'(x)\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x-\frac{1}{x}\ge0.
Como x>0, multiplicamos por x sem inverter o sinal:
2x^{2}-1\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}\ge\frac12 \quad\Longleftrightarrow\quad x\ge\frac{1}{\sqrt{2}}.
Logo, em todo x\ge1/\sqrt2 a derivada é não-negativa (e positiva para x>1/\sqrt2), o que garante crescimento.

Resposta

\displaystyle\bigl[\tfrac{1}{\sqrt{2}},\infty\bigr) é o conjunto onde f é crescente.

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