Determine o conjunto dos valores de x para os quais as funções abaixo são crescentes:
f(x)=2 \cos x-x+1

Passo 1

O enunciado pede os intervalos de x em que a função
f(x)=2\cos x - x + 1
é crescente. Para isso, vamos usar o teste da derivada: uma função é crescente quando sua derivada é não negativa.

Passo 2

Calcular a derivada de f. Como \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x e \frac{d}{dx}(-x)=-1, temos
f'(x)=2\bigl(-\sin x\bigr)-1=-2\sin x-1.

Passo 3

O teste de monotonicidade exige f'(x)\ge0. Logo,
-2\sin x -1 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad -2\sin x \ge 1 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin x \le -\tfrac12.
Para resolver \sin x \le -\tfrac12 num período de 2\pi, note que \sin x=-\tfrac12 em x=7\pi/6 e x=11\pi/6, e entre esses pontos \sin x fica abaixo de -\tfrac12.

Passo 4

Portanto, em cada período de comprimento 2\pi, a condição \sin x\le -\tfrac12 vale para
7\pi/6 \;\le\; x \;\le\; 11\pi/6.
Generalizando para todos os períodos, temos a união desses intervalos.

Resposta

\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\bigl[7\pi/6+2k\pi,\;11\pi/6+2k\pi\bigr].

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