Determine o conjunto dos valores de x para os quais as funções abaixo são decrescentes:
f(x)=\operatorname{arcsen} x

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de x em que a função
f(x)=\operatorname{arcsen}x
é decrescente. O conteúdo envolve teste de monotonicidade por derivada, e vamos precisar conhecer o domínio de f e calcular f'(x).

Passo 2

O domínio natural de \operatorname{arcsen}x é
-1 \le x \le 1.
Para testar monotonicidade, calculamos a derivada em (-1,1):
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arcsen}x\bigr) =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Passo 3

Como \sqrt{1-x^2}>0 para todo x\in(-1,1), temos
f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}>0 \quad\text{em}\quad(-1,1).
Logo, a derivada nunca fica negativa, o que significa que f nunca é decrescente no seu domínio.

Passo 4

Concluímos, portanto, que não existe valor de x em [-1,1] tal que f'(x)<0.

Resposta

\varnothing

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