) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento para a função f(x)=e^{\cos x}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento da função
f(x)=e^{\cos x}.
O que vamos usar é o teste da primeira derivada: calculamos f'(x), achamos onde ela se anula e, em seguida, estudamos o sinal de f'(x) para concluir onde f sobe ou desce.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, seja u(x)=\cos x. Então
f(x)=e^{u(x)} \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x) =e^{\cos x}\cdot(-\sin x) =-\sin x\,e^{\cos x}.
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
f'(x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad -\sin x\,e^{\cos x}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Como e^{\cos x}>0 para todo x, o sinal de f'(x) é o mesmo de -\sin x.
  • Para \sin x>0 (isto é, x\in(2k\pi,(2k+1)\pi)), temos -\sin x<0, logo f'(x)<0 e f está decrescendo.
  • Para \sin x<0 (isto é, x\in((2k+1)\pi,(2k+2)\pi)), temos -\sin x>0, logo f'(x)>0 e f está crescendo.

Resposta

Intervalos de crescimento:
\bigl((2k+1)\pi,\,(2k+2)\pi\bigr),\quad k\in\mathbb{Z}.
Intervalos de decrescimento:
\bigl(2k\pi,\,(2k+1)\pi\bigr),\quad k\in\mathbb{Z}.

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