Determine se o conjunto de vetores é uma base do espaço vetorial V.
V=(x, y) mid 2 x+3 y=0:(3,-2),(-1, 23)

Passo 1

O enunciado define o subespaço
V = (x,y)inR^2 mid 2x + 3y = 0
e pergunta se
(3,-2),,(-1,tfrac23)
é uma base de V. Para responder precisamos saber a dimensão de V, verificar se os vetores estão em V, e checar independência linear (ou equivalently se geram V e são independentes).

Passo 2

Como V é o conjunto de R^2 satisfazendo uma única equação linear independente, temos
dim V = 2 - 1 = 1
Isto significa que qualquer base de V deve conter exatamente um vetor não-nulo.

Passo 3

Verificamos que ambos os vetores pertencem a V calculando 2x+3y:
Para (3,-2):
2cdot 3 + 3cdot(-2) = 6 - 6 = 0
Para l(-1,tfrac23r):
2cdot(-1) + 3cdottfrac23 = -2 + 2 = 0
Logo, os dois estão realmente em V.

Passo 4

Checamos se os vetores são múltiplos um do outro. Procuramos lambda tal que
(-1,tfrac23) = lambda,(3,-2)
Comparando a primeira coordenada:
,-1 = 3lambda, então lambda = -tfrac13
Com isso a segunda coordenada dá
tfrac23 = (-tfrac13)cdot(-2), que bate.
Logo
(-1,tfrac23) = -tfrac13,(3,-2),
e os vetores são linearmente dependentes.

Passo 5

Num espaço de dimensão 1 qualquer conjunto com mais de um vetor é necessariamente dependente. Como o par dado é dependente, ele não pode ser uma base de V.

Resposta

Não. O conjunto não é uma base de V pois os dois vetores são colineares (linearmente dependentes) num espaço de dimensão 1.

Exercícios relacionados