Determine se o conjunto de vetores é uma base do espaço vetorial
.
Passo 1
O enunciado define o subespaço
e pergunta se
é uma base de
. Para responder precisamos saber a dimensão de
, verificar se os vetores estão em
, e checar independência linear (ou equivalently se geram
e são independentes).
Passo 2
Como
é o conjunto de
satisfazendo uma única equação linear independente, temos
Isto significa que qualquer base de
deve conter exatamente um vetor não-nulo.
Passo 3
Verificamos que ambos os vetores pertencem a
calculando
:
Para :
Para
Para
:
Logo, os dois estão realmente em
.
Passo 4
Checamos se os vetores são múltiplos um do outro. Procuramos
tal que
Comparando a primeira coordenada:
, então
Com isso a segunda coordenada dá
, que bate.
Logo
Com isso a segunda coordenada dá
Logo
e os vetores são linearmente dependentes.
Passo 5
Num espaço de dimensão
qualquer conjunto com mais de um vetor é necessariamente dependente. Como o par dado é dependente, ele não pode ser uma base de
.
Resposta
Não. O conjunto não é uma base de
pois os dois vetores são colineares (linearmente dependentes) num espaço de dimensão
.