Esboce e determine a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes dos eixos coordenados.
Passo 1
Então, a gente tem aqui um problema de geometria analítica. A tarefa é desenhar e encontrar a equação do lugar geométrico de todos os pontos que estão à mesma distância dos dois eixos coordenados. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a distância de um ponto aos eixos e usar isso para formar uma equação que descreva todos esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto
aos eixos coordenados. O eixo
é onde
, então a distância de
ao eixo
é simplesmente
. Analogamente, o eixo
é onde
, então a distância ao eixo
é
.
Passo 3
Agora, queremos que a distância ao eixo
seja igual à distância ao eixo
. Isso significa que
. Vamos escrever isso de forma matemática:
Passo 4
Para eliminar o valor absoluto, podemos considerar duas possibilidades: ou
ou
. Assim, a equação
se divide em duas equações lineares:
Passo 5
Essas duas equações representam duas retas que passam pela origem. A primeira,
, é uma reta que faz um ângulo de 45 graus com os eixos, indo do canto inferior esquerdo para o superior direito. A segunda,
, faz o mesmo ângulo, mas indo do canto superior esquerdo para o inferior direito.
Passo 6
Então, o lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância dos eixos coordenados é formado por essas duas retas. Geometricamente, isso forma um “X” no plano cartesiano.
Resposta
A equação do lugar geométrico é
e
. Ou seja: