Esboce e determine a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes dos eixos coordenados.

Passo 1

Então, a gente tem aqui um problema de geometria analítica. A tarefa é desenhar e encontrar a equação do lugar geométrico de todos os pontos que estão à mesma distância dos dois eixos coordenados. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a distância de um ponto aos eixos e usar isso para formar uma equação que descreva todos esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto (x, y) aos eixos coordenados. O eixo x é onde y = 0, então a distância de (x, y) ao eixo x é simplesmente |y|. Analogamente, o eixo y é onde x = 0, então a distância ao eixo y é |x|.

Passo 3

Agora, queremos que a distância ao eixo x seja igual à distância ao eixo y. Isso significa que |x| = |y|. Vamos escrever isso de forma matemática:
|x| = |y|

Passo 4

Para eliminar o valor absoluto, podemos considerar duas possibilidades: ou x = y ou x = -y. Assim, a equação |x| = |y| se divide em duas equações lineares:
x = y e x = -y

Passo 5

Essas duas equações representam duas retas que passam pela origem. A primeira, x = y, é uma reta que faz um ângulo de 45 graus com os eixos, indo do canto inferior esquerdo para o superior direito. A segunda, x = -y, faz o mesmo ângulo, mas indo do canto superior esquerdo para o inferior direito.

Passo 6

Então, o lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância dos eixos coordenados é formado por essas duas retas. Geometricamente, isso forma um “X” no plano cartesiano.

Resposta

A equação do lugar geométrico é x = y e x = -y. Ou seja:
x = y e x = -y

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