Determine a equação do lugar geométrico dos pontos cuja soma dos quadrados de suas distancias aos pontos A(0,0) e B(2,-4) vale 20.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação do lugar geométrico dos pontos cuja soma dos quadrados das distâncias até os pontos A(0,0) e B(2,-4) é igual a 20. Isso está relacionado à geometria analítica, onde usamos fórmulas de distância e manipulamos equações para encontrar a forma desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. A fórmula da distância entre um ponto P(x, y) e A(0,0) é:
PA = raiz(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = raizx^2 + y^2
E a distância entre o mesmo ponto P(x, y) e B(2,-4) é:
PB = raiz(x - 2)^2 + (y - (-4))^2 = raiz(x - 2)^2 + (y + 4)^2

Passo 3

Como a soma dos quadrados dessas distâncias é igual a 20, podemos escrever:
PA^2 + PB^2 = 20
Substituindo as fórmulas das distâncias:
(x^2 + y^2) + [(x - 2)^2 + (y + 4)^2] = 20

Passo 4

Agora, vamos expandir os termos dentro dos colchetes:
(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4
(y + 4)^2 = y^2 + 8y + 16
Substituindo de volta na equação:
x^2 + y^2 + x^2 - 4x + 4 + y^2 + 8y + 16 = 20

Passo 5

Vamos combinar os termos semelhantes:
2x^2 + 2y^2 - 4x + 8y + 20 = 20
Agora, subtraímos 20 de ambos os lados para simplificar:
2x^2 + 2y^2 - 4x + 8y = 0

Passo 6

Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2:
x^2 + y^2 - 2x + 4y = 0

Passo 7

Para identificar o lugar geométrico, vamos completar o quadrado para x e para y .
Primeiro, para x :
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
E para y :
y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4
Substituindo na equação:
(x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 = 0

Passo 8

Simplificando os termos constantes:
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 5 = 0
Adicionando 5 a ambos os lados:
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 5

Resposta

A equação do lugar geométrico é (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 5 .

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