Determine a equação do lugar geométrico dos pontos cuja soma dos quadrados de suas distancias aos pontos
e
vale 20.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação do lugar geométrico dos pontos cuja soma dos quadrados das distâncias até os pontos
e
é igual a 20. Isso está relacionado à geometria analítica, onde usamos fórmulas de distância e manipulamos equações para encontrar a forma desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. A fórmula da distância entre um ponto
e
é:
E a distância entre o mesmo ponto
e
é:
Passo 3
Como a soma dos quadrados dessas distâncias é igual a 20, podemos escrever:
Substituindo as fórmulas das distâncias:
Passo 4
Agora, vamos expandir os termos dentro dos colchetes:
Substituindo de volta na equação:
Passo 5
Vamos combinar os termos semelhantes:
Agora, subtraímos 20 de ambos os lados para simplificar:
Passo 6
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2:
Passo 7
Para identificar o lugar geométrico, vamos completar o quadrado para
e para
.
Primeiro, para
:
E para
:
Substituindo na equação:
Passo 8
Simplificando os termos constantes:
Adicionando 5 a ambos os lados:
Resposta
A equação do lugar geométrico é
.