Determine se o conjunto de vetores é uma base do espaço vetorial V.
V=P2:3 x, 1-x^2, x^2-5.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de polinômios 3x,;1 - x^2,;x^2 - 5 é uma base do espaço vetorial V = P2. Aqui o conteúdo envolvido é base de espaço vetorial, independência linear e dimensão de P2.

Passo 2

Lembrando que dim(P2)=3, um conjunto com três vetores (polinômios) será base de P2 se, e somente se, for linearmente independente.

Passo 3

Para testar independência, considere a combinação linear nula:
c1,(3x) + c2,(1 - x^2) + c3,(x^2 - 5) = 0(polinômio zero) ô
Igualando coeficientes de x^2, x e termo constante, obtemos o sistema
constante:&c2 - 5c3 = 0, coef de x:&3c1 = 0, coef de x^2:&-,c2 + c3 = 0

Passo 4

Da segunda equação vem c1=0. Da terceira segue c3=c2. Substituindo em c2 - 5c3=0
c2 - 5c2 = -4c2 = 0Longrightarrow c2 = 0, c3 = 0
Logo a única solução é c1=c2=c3=0, provando que os polinômios são linearmente independentes.

Passo 5

Tendo três vetores em P2 (dimensão 3) e provando que são independentes, concluímos que eles formam uma base de P2.

Resposta

Sim, 3x,,1 - x^2,,x^2 - 5 é uma base de P2.

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