Determine se o conjunto de vetores é uma base do espaço vetorial . .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de polinômios é uma base do espaço vetorial . Aqui o conteúdo envolvido é base de espaço vetorial, independência linear e dimensão de .
Passo 2
Lembrando que , um conjunto com três vetores (polinômios) será base de se, e somente se, for linearmente independente.
Passo 3
Para testar independência, considere a combinação linear nula:
Igualando coeficientes de , e termo constante, obtemos o sistema
Passo 4
Da segunda equação vem c1=0. Da terceira segue c3=c2. Substituindo em c2 - 5c3=0 dá
c2 - 5c2 = -4c2 = 0Longrightarrow c2 = 0, c3 = 0
Logo a única solução é c1=c2=c3=0, provando que os polinômios são linearmente independentes.
Passo 5
Tendo três vetores em P2 (dimensão 3) e provando que são independentes, concluímos que eles formam uma base de P2.