Determine se o conjunto de vetores é uma base do espaço vetorial . .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de quatro polinômios
é uma base de , o espaço dos polinômios de grau no máximo 3.
Para isso, como , basta mostrar que esses quatro vetores são linearmente independentes (ou que geram ).
Passo 2
Vamos escrever cada polinômio em relação à base canônica .
Formamos a matriz cujas colunas são essas coordenadas:
Passo 3
Calculamos o determinante de A. Como a matriz é triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
det(A) = 1 cdot 1 cdot (-1) cdot (-1) = 1 neq 0
Passo 4
Como det(A)neq0, as colunas de A são linearmente independentes. Logo, os quatro polinômios formam um conjunto linearmente independente em um espaço de dimensão 4, portanto é uma base de P3.