Determine se o conjunto de vetores é uma base do espaço vetorial V.
V=P3:1,1+x, 1-x^2, 1-x^3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de quatro polinômios
,1,;1+x,;1-x^2,;1-x^3
é uma base de V=P3, o espaço dos polinômios de grau no máximo 3.
Para isso, como dim P3=4, basta mostrar que esses quatro vetores são linearmente independentes (ou que geram P3).

Passo 2

Vamos escrever cada polinômio em relação à base canônica 1,x,x^2,x^3.
  1. 1longmapsto (1,0,0,0)
  2. 1+xlongmapsto (1,1,0,0)
  3. 1-x^2longmapsto (1,0,-1,0)
  4. 1-x^3longmapsto (1,0,0,-1)
Formamos a matriz cujas colunas são essas coordenadas:
A = 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1

Passo 3

Calculamos o determinante de A. Como a matriz é triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
det(A) = 1 cdot 1 cdot (-1) cdot (-1) = 1 neq 0

Passo 4

Como det(A)neq0, as colunas de A são linearmente independentes. Logo, os quatro polinômios formam um conjunto linearmente independente em um espaço de dimensão 4, portanto é uma base de P3.

Resposta

Sim, 1,;1+x,;1-x^2,;1-x^3 é uma base de P3.

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