Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear T: R^3 R^2 definida pela matriz:
2 & -1 & 1 4 & 3 & 1
O que a gente precisa descobrir é se essa transformação T é injetora. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e injetividade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser injetora. Uma transformação linear T é injetora se, sempre que T(x) = T(y) , então x = y . Outra forma de pensar nisso é que a única solução para T(x) = 0 é x = 0 .
Passo 3
Então, para verificar se T é injetora, vamos resolver a equação T(x) = 0 . Isso significa resolver o sistema:
2x1 - x2 + x3 = 0 4x1 + 3x2 + x3 = 0
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método da substituição ou da combinação linear. Vou optar pela combinação linear.
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação de x1 :
Agora, substituímos x3 = 5x2 na primeira equação original:
2x1 - x2 + 5x2 = 0 2x1 + 4x2 = 0 x1 = -2x2
Passo 6
Até aqui, temos:
x1 = -2x2 x3 = 5x2
Isso significa que todas as soluções do sistema são múltiplos de x2 . Se x2 for diferente de zero, teremos soluções não triviais (ou seja, diferentes de 0 ).
Passo 7
Como existe pelo menos uma solução não trivial para T(x) = 0 , isso significa que a transformação T não é injetora.
Resposta
A transformação T não é injetora porque existem soluções não triviais para T(x) = 0 .