Seja T: R^3 R^2 a transformação linear definida por
T([l x1 x2 x3 ])=[l 2 x1-x2+x3 4 x1+3 x2+x3 ] [ccc 2 & -1 & 1 4 & 3 & 1 ]
Decida se T é injetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear T: R^3 R^2 definida pela matriz:
2 & -1 & 1 4 & 3 & 1
O que a gente precisa descobrir é se essa transformação T é injetora. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e injetividade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser injetora. Uma transformação linear T é injetora se, sempre que T(x) = T(y) , então x = y . Outra forma de pensar nisso é que a única solução para T(x) = 0 é x = 0 .

Passo 3

Então, para verificar se T é injetora, vamos resolver a equação T(x) = 0 . Isso significa resolver o sistema:
2x1 - x2 + x3 = 0 4x1 + 3x2 + x3 = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método da substituição ou da combinação linear. Vou optar pela combinação linear.
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação de x1 :
4x1 - 2x2 + 2x3 = 0 4x1 + 3x2 + x3 = 0
Agora, subtraímos a segunda equação da primeira:
(4x1 - 2x2 + 2x3) - (4x1 + 3x2 + x3) = 0 - 0 -5x2 + x3 = 0
Isso simplifica para:
x3 = 5x2

Passo 5

Agora, substituímos x3 = 5x2 na primeira equação original:
2x1 - x2 + 5x2 = 0 2x1 + 4x2 = 0 x1 = -2x2

Passo 6

Até aqui, temos:
x1 = -2x2 x3 = 5x2
Isso significa que todas as soluções do sistema são múltiplos de x2 . Se x2 for diferente de zero, teremos soluções não triviais (ou seja, diferentes de 0 ).

Passo 7

Como existe pelo menos uma solução não trivial para T(x) = 0 , isso significa que a transformação T não é injetora.

Resposta

A transformação T não é injetora porque existem soluções não triviais para T(x) = 0 .

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