Determine se o conjunto de vetores dado é linearmente dependente ou independente.
f. Em P2, x, x^2-x, x^3-x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de polinômios
,x,;x^2 - x,;x^3 - x
é linearmente dependente ou independente em Pn (o espaço dos polinômios até certo grau).
Conteúdo: dependência linear em espaços de polinômios.
Estratégia: montar uma combinação linear que dê o polinômio zero e ver se só a solução trivial existe.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c tais que
a,x ;+; b,(x^2 - x);+; c,(x^3 - x);=;0
onde 0 é o polinômio identicamente zero.

Passo 3

Expanda a soma:
a,x ;+; b,x^2 - b,x ;+; c,x^3 - c,x ;=; c,x^3 ;+; b,x^2 ;+;(a - b - c),x

Passo 4

Para que esse polinômio seja o zero em todos os coeficientes, devemos ter
coeficiente de x^3: & c = 0, coeficiente de x^2: & b = 0, coeficiente de x: & a - b - c = 0

Passo 5

Substituindo b=0 e c=0 na última equação dá a=0.
Logo a única solução é a=b=c=0, ou seja, a combinação trivial.

Resposta

O conjunto ,x,;x^2 - x,;x^3 - x é linearmente independente.

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