Determine se o conjunto de vetores dado é linearmente dependente ou independente.
i. Em C[0,1], e^x, e^-x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções e^x e e^-x, consideradas como vetores em C[0,1], são linearmente dependentes ou independentes. Para isso, vamos usar a definição de independência linear: um conjunto f1,f2 é independente se a única combinação linear que gera a função zero é a trivial, ou seja, se
a,f1(x)+b,f2(x)=0forall xin[0,1]
implica a=b=0.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,binR tais que, para todo xin[0,1],
a,e^x + b,e^-x = 0

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por e^x, obtemos
a,e^2x + b = 0 forall xin[0,1]
A função xmapsto a,e^2x+b é contínua e, para ser identicamente zero, precisa ter coeficiente de e^2x nulo e termo constante nulo. Logo,
a=0 e b=0

Passo 4

Como a única solução da combinação linear homogênea é a=b=0, concluímos que e^x e e^-x são linearmente independentes em C[0,1].

Resposta

As funções e^x e e^-x são linearmente independentes.

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