Determine se o conjunto de vetores dado é linearmente dependente ou independente.
i.
i.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as funções
e
, consideradas como vetores em
, são linearmente dependentes ou independentes. Para isso, vamos usar a definição de independência linear: um conjunto
é independente se a única combinação linear que gera a função zero é a trivial, ou seja, se
implica
.
Passo 2
Suponha que existam escalares
tais que, para todo
,
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
A função
é contínua e, para ser identicamente zero, precisa ter coeficiente de
nulo e termo constante nulo. Logo,
Passo 4
Como a única solução da combinação linear homogênea é
, concluímos que
e
são linearmente independentes em
.
Resposta
As funções
e
são linearmente independentes.