Determine se o conjunto de vetores (1,0,0),(0,1,1),(1,1,1) é linearmente independente em R^3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores
(1,0,0),(0,1,1),(1,1,1)
é linearmente independente em R^3.
Conteúdo: definição de independência linear e resolução de combinação linear igual a zero.

Passo 2

Considere a combinação linear
a(1,0,0) + b(0,1,1) + c(1,1,1) = (0,0,0),
onde a,b,cinR. Se a única solução for a=b=c=0, o conjunto é independente; caso contrário é dependente.

Passo 3

Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
a + c = 0, b + c = 0, b + c = 0

Passo 4

Das duas últimas equações temos b+c=0. Seja t=b; então c=-t. Da primeira equação a+c=0 segue a=-c=t. Logo
(a,b,c) = (t,,t,,-t),
que para tneq0 é solução não trivial. Isso mostra dependência linear. Em particular, para t=1
1cdot(1,0,0) + 1cdot(0,1,1) -1cdot(1,1,1) = (0,0,0)

Resposta

O conjunto é linearmente dependente em R^3.

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