Verifique que o espaço das funções continuas
é um espaço vetorial, note que nesse espaço os vetores são as funções contínuas. Inicialmente, apresente a definição natural de soma e multiplicação por escalar desses vetores, em seguida recorrendo se necessário à um livro de cálculo I conclua que tal conjunto é um espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto das funções contínuas em
, que chamaremos de
, é um espaço vetorial sobre
. Para isso, vamos (i) definir a soma de duas funções e a multiplicação por escalar de uma função e (ii) verificar os axiomas de espaço vetorial, usando como fato de cálculo que soma e múltiplo escalar de funções contínuas são contínuos.
Passo 2
Definimos para quaisquer
e qualquer escalar
:
para todo
. Essas são as operações naturais de soma e multiplicação por escalar em espaços de funções.
Passo 3
Fechamento sob soma e múltiplo escalar. Pelo curso de Cálculo I sabemos que se
e
são contínuas em
, então
é contínua em
. Do mesmo modo, para qualquer
, a função
é contínua em
. Logo
e
.
Passo 4
Verificação dos axiomas da soma:
- Associatividade:
ponto a ponto, pois . - Comutatividade:
pois . - Elemento neutro: a função zero
está em e . - Inverso aditivo: para cada
existe definida por , e .
Passo 5
Verificação dos axiomas envolvendo escalares:
- Distributividade do escalar sobre soma de vetores:
pois em cada
vale
.
2. Distributividade da soma de escalares sobre função:
2. Distributividade da soma de escalares sobre função:
- Compatibilidade de escalares:
- Identidade escalar:
Passo 6
Como todas as propriedades de fechamento e axiomas vetoriais estão satisfeitas, concluímos que
com as operações definidas é um espaço vetorial sobre
.
Resposta
Concluímos que o conjunto
das funções contínuas em
, munido da soma
e da multiplicação por escalar
, satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
. Portanto,
é um espaço vetorial.