Verifique que o espaço das funções continuas C^circ[0,1] é um espaço vetorial, note que nesse espaço os vetores são as funções contínuas. Inicialmente, apresente a definição natural de soma e multiplicação por escalar desses vetores, em seguida recorrendo se necessário à um livro de cálculo I conclua que tal conjunto é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto das funções contínuas em [0,1], que chamaremos de C[0,1], é um espaço vetorial sobre R. Para isso, vamos (i) definir a soma de duas funções e a multiplicação por escalar de uma função e (ii) verificar os axiomas de espaço vetorial, usando como fato de cálculo que soma e múltiplo escalar de funções contínuas são contínuos.

Passo 2

Definimos para quaisquer f,ginC[0,1] e qualquer escalar alphainR:
(f+g)(x)=f(x)+g(x),
(alpha,f)(x)=alphal(f(x)r)
para todo xin[0,1]. Essas são as operações naturais de soma e multiplicação por escalar em espaços de funções.

Passo 3

Fechamento sob soma e múltiplo escalar. Pelo curso de Cálculo I sabemos que se f e g são contínuas em [0,1], então f+g é contínua em [0,1]. Do mesmo modo, para qualquer alphainR, a função alpha f é contínua em [0,1]. Logo f+ginC[0,1] e alpha finC[0,1].

Passo 4

Verificação dos axiomas da soma:
  1. Associatividade: (f+g)+h = f+(g+h) ponto a ponto, pois l((f+g)+hr)(x)=f(x)+g(x)+h(x)=l(f+(g+h)r)(x).
  2. Comutatividade: f+g=g+f pois f(x)+g(x)=g(x)+f(x).
  3. Elemento neutro: a função zero 0(x)=0 está em C[0,1] e f+0=f.
  4. Inverso aditivo: para cada f existe -finC[0,1] definida por (-f)(x)=-f(x), e f+(-f)=0.

Passo 5

Verificação dos axiomas envolvendo escalares:
  1. Distributividade do escalar sobre soma de vetores:
alpha(f+g) = alpha f + alpha g,
pois em cada x vale alphal(f(x)+g(x)r)=alpha f(x)+alpha g(x).
2. Distributividade da soma de escalares sobre função:
(alpha+beta)f = alpha f + beta f
  1. Compatibilidade de escalares:
(alphabeta)f = alpha(beta f)
  1. Identidade escalar:
1cdot f = f

Passo 6

Como todas as propriedades de fechamento e axiomas vetoriais estão satisfeitas, concluímos que C[0,1] com as operações definidas é um espaço vetorial sobre R.

Resposta

Concluímos que o conjunto C[0,1] das funções contínuas em [0,1], munido da soma (f+g)(x)=f(x)+g(x) e da multiplicação por escalar (alpha f)(x)=alpha f(x), satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R. Portanto, C[0,1] é um espaço vetorial.

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