Encontre uma base para o subespaço de R^4 gerado pelos vetores (1,2,0,1),(0,1,1,1) e (1,3,1,2).

Passo 1

O enunciado dá três vetores (1,2,0,1), (0,1,1,1) e (1,3,1,2) em R^4 e pede uma base para o subespaço por eles gerado. O conteúdo é espaço gerado e independência linear. Para resolver, vamos montar uma matriz cujas linhas são esses vetores e aplicar eliminação de Gauss para identificar quais são linearmente independentes.

Passo 2

Montamos a matriz
1 & 2 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 1 1 & 3 & 1 & 2
e aplicamos
R3 R3 - R1
obtendo
1 & 2 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 1
Em seguida
R3 R3 - R2
que leva a
1 & 2 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0

Passo 3

Dos pivôs na primeira e segunda linhas, concluímos que os vetores (1,2,0,1) e (0,1,1,1) são independentes e que o terceiro vetor é combinação linear dos dois primeiros. Logo, uma base do subespaço é formada por esses dois vetores.

Resposta

Uma base para o subespaço é
l(1,2,0,1),,(0,1,1,1)r

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