Determine todos os subestações vetoriais de R^2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos todos os subespaços vetoriais de R^2. Para isso precisamos usar a definição de subespaço vetorial (conter o vetor nulo, fechar sob soma e multiplicação escalar) e também o fato de que qualquer subespaço de um espaço de dimensão finita tem dimensão menor ou igual à do espaço original.

Passo 2

Analisamos as possíveis dimensões de um subespaço WsubseteqR^2. Como dim(R^2)=2, pelas propriedades de dimensão temos que
dim(W)in0,1,2

Passo 3

Se dim(W)=0, então o único subespaço de dimensão zero é
0,
isto é, o conjunto que contém apenas o vetor nulo.

Passo 4

Se dim(W)=1, então W é gerado por um único vetor não nulo vinR^2. Logo
W = span v = ,t, v mid tinR,
que é geometricamente uma reta passando pela origem. Como v pode ser qualquer vetor não nulo, obtemos todas as retas através da origem.

Passo 5

Se dim(W)=2, então W coincide com R^2 inteiro, pois não há nenhum subespaço próprio de dimensão 2 dentro de R^2.

Resposta

Os subespaços vetoriais de R^2 são exatamente
0,
todas as retas através da origem
,t v mid tinR( vneq0),
e o próprio espaço
R^2

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