Determine todos os subestações vetoriais de
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos todos os subespaços vetoriais de
. Para isso precisamos usar a definição de subespaço vetorial (conter o vetor nulo, fechar sob soma e multiplicação escalar) e também o fato de que qualquer subespaço de um espaço de dimensão finita tem dimensão menor ou igual à do espaço original.
Passo 2
Analisamos as possíveis dimensões de um subespaço
. Como
, pelas propriedades de dimensão temos que
Passo 3
Se
, então o único subespaço de dimensão zero é
isto é, o conjunto que contém apenas o vetor nulo.
Passo 4
Se
, então
é gerado por um único vetor não nulo
. Logo
que é geometricamente uma reta passando pela origem. Como
pode ser qualquer vetor não nulo, obtemos todas as retas através da origem.
Passo 5
Se
, então
coincide com
inteiro, pois não há nenhum subespaço próprio de dimensão 2 dentro de
.
Resposta
Os subespaços vetoriais de
são exatamente
todas as retas através da origem
e o próprio espaço