Encontre a dimensão do subespaço das matrizes
que possui traço zero.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a dimensão do subespaço de matrizes
com traço zero, ou seja,
Vamos usar teoria de espaços vetoriais e o teorema do posto–nulidade.
Passo 2
Sabemos que o espaço
de todas as matrizes
tem dimensão 9, pois uma base é dada pelas matrizes canônicas
com
.
Passo 3
O traço é uma aplicação linear
definida por
. O subespaço desejado é exatamente
.
Passo 4
Pelo teorema do posto–nulidade, vale
Como
alcança qualquer valor em
, temos
. Logo,
Resposta
A dimensão do subespaço de matrizes
com traço zero é 8.