Encontre a dimensão do subespaço das matrizes 3 times 3 que possui traço zero.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a dimensão do subespaço de matrizes 3times3 com traço zero, ou seja,
Ain M3times3(R)mid tr(A)=0
Vamos usar teoria de espaços vetoriais e o teorema do posto–nulidade.

Passo 2

Sabemos que o espaço M3times3(R) de todas as matrizes 3times3 tem dimensão 9, pois uma base é dada pelas matrizes canônicas Eij com 1<= i,j<=3.

Passo 3

O traço é uma aplicação linear
tr:M3times3(R)longrightarrow R,
definida por tr(A)=sumi=1^3Aii. O subespaço desejado é exatamente ker(tr).

Passo 4

Pelo teorema do posto–nulidade, vale
dim(ker(tr))=diml(M3times3(R)r)-diml(im(tr)r)
Como tr alcança qualquer valor em R, temos dim(im(tr))=1. Logo,
dim(ker(tr))=9-1=8

Resposta

A dimensão do subespaço de matrizes 3times3 com traço zero é 8.

Exercícios relacionados