Determine se o conjunto de vetores de R^2 são LI ou LD:
S=(-1,1),(3,1)

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S = (-1,1),,(3,1)subset R^2
e pede para decidir se ele é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Para isso vamos usar a definição de independência linear: a combinação
c1(-1,1) + c2(3,1) = (0,0)
só admite a solução trivial c1 = c2 = 0 se e somente se S for LI.

Passo 2

Escrevendo a combinação vetorial, obtemos o sistema de equações em c1,c2:
c1(-1) + c2(3) = 0,
c1(1) + c2(1) = 0
Ou seja,
-,c1 + 3c2 = 0,
c1 + c2 = 0

Passo 3

Da segunda equação vem
c1 = -,c2
Substituindo na primeira:
-(-c2) + 3c2 = c2 + 3c2 = 4c2 = 0 implies c2 = 0 implies c1 = 0
Só há a solução trivial.

Passo 4

Como a única solução de
c1(-1,1) + c2(3,1) = (0,0)
é c1 = c2 = 0, concluímos que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto S é linearmente independente.

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