Determine o conjunto
que satisfaz todas as igualdades descritas abaixo simultaneamente: (justifique sua resposta)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para achar um conjunto
que satisfaça essas três igualdades de união e interseção simultaneamente:
Isso cai em teoria de operações com conjuntos: união (
) e interseção (
). Para resolver, a gente vai usar as propriedades básicas:
- Na união, tudo que está em qualquer um dos conjuntos aparece no resultado.
- Na interseção, só aparece o que está em ambos os conjuntos.
Passo 2
Analisa a primeira igualdade:
Como união pega todos os elementos dos dois lados, para aparecer o
no resultado é obrigatório que
(porque
não tem
).
Além disso, não pode ter nenhum elemento “estranho” em , tipo
ou algo fora de
, pois isso “estragaria” a união (apareceria lá).
Então, desse passo já temos:
Além disso, não pode ter nenhum elemento “estranho” em
Então, desse passo já temos:
Passo 3
Agora a segunda união:
Na união, tudo de
já está lá, mas para “aparecer” o
é necessário que
.
E se estivesse em
, a união traria
também, mas a “receita” só tem
, sem
. Logo deve valer
E se
Note que já tínhamos
, então aqui só reforçamos isso.
Passo 4
Falta a interseção:
Interseção pega só o que os dois conjuntos têm em comum. Como o resultado é exatamente
, isso diz que:
-
precisa estar em , porque aparece na interseção. -
e não podem estar em , pois senão apareceriam na interseção (e o resultado não tem nem ).
Então concluímos:
Resposta
Juntando tudo, o único conjunto
que satisfaz as três condições é