Determine o conjunto X que satisfaz todas as igualdades descritas abaixo simultaneamente: (justifique sua resposta)
a, b, c, d cup X=a, b, c, d, e, c, d cup X=a, c, d, e e b, c, d cap X=c

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para achar um conjunto a, b, c, d cup X = a, b, c, d, e, c, d cup X = a, c, d, e, b, c, d cap X = c que satisfaça essas três igualdades de união e interseção simultaneamente:
Isso cai em teoria de operações com conjuntos: união ( ) e interseção ( ). Para resolver, a gente vai usar as propriedades básicas:
  • Na união, tudo que está em qualquer um dos conjuntos aparece no resultado.
  • Na interseção, só aparece o que está em ambos os conjuntos.

Passo 2

Analisa a primeira igualdade:
a,b,c,d cup X = a,b,c,d,e
Como união pega todos os elementos dos dois lados, para aparecer o ein X, Xsubseteqa,b,c,d,e no resultado é obrigatório que (porque não tem ).
Além disso, não pode ter nenhum elemento “estranho” em , tipo ou algo fora de , pois isso “estragaria” a união (apareceria lá).
Então, desse passo já temos:

Passo 3

Agora a segunda união:
c,d cup X = a,c,d,e
Na união, tudo de ain X, bnotin X já está lá, mas para “aparecer” o é necessário que .
E se estivesse em , a união traria também, mas a “receita” só tem , sem . Logo deve valer
Note que já tínhamos , então aqui só reforçamos isso.

Passo 4

Falta a interseção:
b,c,d cap X = c
Interseção pega só o que os dois conjuntos têm em comum. Como o resultado é exatamente cin X, bnotin X, dnotin X , isso diz que:
  • precisa estar em , porque aparece na interseção.
  • e não podem estar em , pois senão apareceriam na interseção (e o resultado não tem nem ).
    Então concluímos:

Resposta

Juntando tudo, o único conjunto boxedX = a, c, e que satisfaz as três condições é

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