Os conjuntos a, b e a, a, a, b, b, a, b são iguais? Justifique.

Passo 1

Beleza, a questão pergunta se os conjuntos
a, b e a, a, a, b, b, a, b
são iguais. Isso é Teoria de Conjuntos, mais especificamente igualdade de conjuntos. Para resolver a gente vai precisar lembrar a definição: dois conjuntos são iguais exatamente quando têm os mesmos elementos — repetições dentro de um conjunto não contam.

Passo 2

O que é um conjunto?
  • Um conjunto é uma coleção de elementos sem ordem e sem repetição.
  • Quando eu escrevo , na prática isso vale exatamente o mesmo que , porque repetição não conta.
E o que significa “igualdade de conjuntos”?
Dois conjuntos e são iguais (escrevemos ) se, e somente se, todo elemento de está em e todo elemento de está em .

Passo 3

Vamos aplicar isso aos nossos conjuntos:
  1. Seja .
  2. Seja .
– Primeiro, pego um elemento genérico de . Pode ser ou .
  • Se for , claro que , porque aparece várias vezes em .
  • Se for , também .
– Agora o contrário: pego um elemento genérico de . Pode ser ou (não tem outro).
  • Se for , .
  • Se for , .
Assim mostramos que todo elemento de está em e todo elemento de está em .

Passo 4

Conclusão prática: como repetição de elementos não faz diferença em conjuntos, é só “esticado” com várias repetições sem valor novo. Logo os elementos são exatamente os mesmos em ambos.

Resposta

Sim, eles são iguais, pois
a, b = a, a, a, b, b, a, b,
uma vez que em conjuntos não importam repetições, só a presença dos elementos.

Exercícios relacionados