Os conjuntos
e
são iguais? Justifique.
Passo 1
Beleza, a questão pergunta se os conjuntos
são iguais. Isso é Teoria de Conjuntos, mais especificamente igualdade de conjuntos. Para resolver a gente vai precisar lembrar a definição: dois conjuntos são iguais exatamente quando têm os mesmos elementos — repetições dentro de um conjunto não contam.
Passo 2
O que é um conjunto?
- Um conjunto é uma coleção de elementos sem ordem e sem repetição.
- Quando eu escrevo
, na prática isso vale exatamente o mesmo que , porque repetição não conta.
E o que significa “igualdade de conjuntos”?
Dois conjuntos e
são iguais (escrevemos
) se, e somente se, todo elemento de
está em
e todo elemento de
está em
.
Dois conjuntos
Passo 3
Vamos aplicar isso aos nossos conjuntos:
- Seja
. - Seja
.
– Primeiro, pego um elemento genérico de
. Pode ser
ou
.
- Se for
, claro que , porque aparece várias vezes em . - Se for
, também .
– Agora o contrário: pego um elemento genérico de
. Pode ser
ou
(não tem outro).
- Se for
, . - Se for
, .
Assim mostramos que todo elemento de
está em
e todo elemento de
está em
.
Passo 4
Conclusão prática: como repetição de elementos não faz diferença em conjuntos,
é só
“esticado” com várias repetições sem valor novo. Logo os elementos são exatamente os mesmos em ambos.
Resposta
Sim, eles são iguais, pois
uma vez que em conjuntos não importam repetições, só a presença dos elementos.