Seja u=(0,2,2) e v=(1,3,1). Quais dos vetores abaixo pertencem a \operatorname{span}\{u, v\} ? Para cada um, encontre (se existirem) \alpha, \beta \in \mathbb{R} tais que \alpha u+\beta v seja o vetor dado.
(0,0,0)

Passo 1

O enunciado dá os vetores \,u=(0,2,2) e \,v=(1,3,1) e pergunta quais vetores dentre uma lista (aqui só o (0,0,0)) pertencem a \operatorname{span}\{u,v\}. O conteúdo da matéria é combinação linear e espaço gerado: devemos ver se existem \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha\,u+\beta\,v = (0,0,0).

Passo 2

Para encontrar \alpha e \beta, montamos o sistema coordenada a coordenada:
\alpha\,(0) + \beta\,(1) = 0,\quad \alpha\,(2) + \beta\,(3) = 0,\quad \alpha\,(2) + \beta\,(1) = 0.
Da primeira equação vem \beta=0. Substituindo nas outras duas:
2\alpha + 3\cdot 0 = 0 \implies \alpha=0,
2\alpha + 1\cdot 0 = 0 \implies \alpha=0,
o que é consistente.

Resposta

O vetor (0,0,0) pertence a \operatorname{span}\{u,v\} e a combinação é
\alpha=0,\quad \beta=0,
pois
0\cdot u + 0\cdot v = (0,0,0).

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