Seja u=(0,2,2) e v=(1,3,1). Quais dos vetores abaixo pertencem a \operatorname{span}\{u, v\} ? Para cada um, encontre (se existirem) \alpha, \beta \in \mathbb{R} tais que \alpha u+\beta v seja o vetor dado. (0,4,5)
Passo 1
O enunciado dá os vetores \displaystyle u=(0,2,2) e \displaystyle v=(1,3,1) em \mathbb{R}^3 e pergunta se o vetor \displaystyle w=(0,4,5) pertence a \operatorname{span}\{u,v\}.
Para isso precisamos ver se existem \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
Mas na terceira equação, com \beta=0 e \alpha=2, teríamos
2\cdot2 + 0 = 4 \neq 5,
isto é, obtemos uma contradição.
Passo 4
Como não existe (\alpha,\beta) que satisfaça simultaneamente as três equações, concluímos que \displaystyle w=(0,4,5) não pertence a \operatorname{span}\{u,v\}.
Resposta
O vetor (0,4,5) não está em \operatorname{span}\{u,v\}.