Seja u=(0,2,2) e v=(1,3,1). Quais dos vetores abaixo pertencem a \operatorname{span}\{u, v\} ? Para cada um, encontre (se existirem) \alpha, \beta \in \mathbb{R} tais que \alpha u+\beta v seja o vetor dado.
(0,4,5)

Passo 1

O enunciado dá os vetores \displaystyle u=(0,2,2) e \displaystyle v=(1,3,1) em \mathbb{R}^3 e pergunta se o vetor \displaystyle w=(0,4,5) pertence a \operatorname{span}\{u,v\}.
Para isso precisamos ver se existem \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha\,u+\beta\,v = w.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear, temos
\alpha\,(0,2,2)+\beta\,(1,3,1) =(0\cdot\alpha+\beta,\;2\alpha+3\beta,\;2\alpha+\beta) =(\beta,\;2\alpha+3\beta,\;2\alpha+\beta).
Igualando a (0,4,5) obtemos o sistema
\begin{cases} \beta = 0,\\\\ 2\alpha+3\beta = 4,\\\\ 2\alpha+\beta = 5. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação vem \beta=0. Substituindo na segunda:
2\alpha + 3\cdot0 = 4 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 2.
Mas na terceira equação, com \beta=0 e \alpha=2, teríamos
2\cdot2 + 0 = 4 \neq 5,
isto é, obtemos uma contradição.

Passo 4

Como não existe (\alpha,\beta) que satisfaça simultaneamente as três equações, concluímos que \displaystyle w=(0,4,5) não pertence a \operatorname{span}\{u,v\}.

Resposta

O vetor (0,4,5) não está em \operatorname{span}\{u,v\}.

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