Determine se os conjuntos abaixo são subespaços de Mn n.
O conjunto de todas as matrizes n times n simétricas.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = Ain Mn n mid A^T = A
das matrizes simétricas em Mn n é um subespaço vetorial. Vamos usar a definição de subespaço, que exige três propriedades: presença do vetor zero, fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que a matriz zero 0 (com todos os elementos iguais a 0) é simétrica, pois
0^T = 0
Logo, 0in S.

Passo 3

Tomemos A,Bin S. Por definição, A^T = A e B^T = B. Então
(A + B)^T = A^T + B^T = A + B,
o que mostra que A + B também é simétrica. Portanto A+Bin S, garantindo o fechamento sob adição.

Passo 4

Agora, seja lambda um escalar (em R ou no corpo em questão) e Ain S. Então
(lambda A)^T = lambda,A^T = lambda A,
mostrando que lambda A é simétrica. Assim, S é fechado sob multiplicação por escalares.

Resposta

O conjunto de todas as matrizes simétricas é um subespaço vetorial de Mn n.

Exercícios relacionados