Determine se os conjuntos abaixo são subespaços de
.
O conjunto de todas as matrizes
simétricas.
O conjunto de todas as matrizes
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
das matrizes simétricas em
é um subespaço vetorial. Vamos usar a definição de subespaço, que exige três propriedades: presença do vetor zero, fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que a matriz zero
(com todos os elementos iguais a
) é simétrica, pois
Logo,
.
Passo 3
Tomemos
. Por definição,
e
. Então
o que mostra que
também é simétrica. Portanto
, garantindo o fechamento sob adição.
Passo 4
Agora, seja
um escalar (em
ou no corpo em questão) e
. Então
mostrando que
é simétrica. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalares.
Resposta
O conjunto de todas as matrizes simétricas é um subespaço vetorial de
.