Verifique em cada um dos casos abaixo se W é um subespaço de V.
V=Im, W=f in Im: f(-x)=f(x).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=Im das funções reais de variável real e o subconjunto
W = ,fin Im mid f(-x)=f(x),,
isto é, o conjunto das funções pares. Para mostrar que W é subespaço de V, vamos verificar as três propriedades: ( 1) não-vazio, ( 2) fechado sob soma e ( 3) fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Não-vazio: basta observar a função zero 0colon xmapsto 0. Para todo x,
0(-x)=0=0(x),
logo 0in W.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam f,gin W. Então para todo x
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x)
Isso mostra que f+g também satisfaz a condição de paridade, logo f+gin W.

Passo 4

Fechamento sob escalar: seja fin W e alphainR. Então
(alpha f)(-x)=alpha,f(-x)=alpha,f(x)=(alpha f)(x),
mostrando que alpha fin W.

Resposta

W é um subespaço de V.

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