Verifique em cada um dos casos abaixo se W é um subespaço de V.
V=P2, W=a+b x+c x^2: a b c=0.

Passo 1

O enunciado define V=P2, o espaço vetorial das funções polinomiais de grau no máximo 2, e
W=,a+bx+cx^2:a,b,c=0,
isto é, os polinômios em que pelo menos um dos coeficientes a, b ou c é zero. Para ser subespaço de V, W deve conter o vetor zero, ser fechado sob soma e ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o polinômio zero pertence a W. No polinômio zero temos a=0, b=0, c=0, logo
a,b,c = 0cdot0cdot0 = 0,
então o zero está em W.

Passo 3

Testamos a fechamento em relação à adição. Tomemos
p1(x) = x + x^2, p2(x) = 1 + x^2
Em p1 temos (a,b,c)=(0,1,1) e em p2 temos (a,b,c)=(1,0,1), portanto p1,p2in W. Mas
p1(x)+p2(x) = 1 + 2x + 2x^2,
cujo vetor de coeficientes é (1,2,2) e
1cdot2cdot2 = 4 neq 0
Logo p1+p2notin W, ou seja, W não é fechado sob soma.

Resposta

W não é subespaço de V.

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