Determine as distâncias entre as retas r1:rx=2-t y=3+t z=1-2 t e s:rx=t y=-1-3 t z=2 t

Passo 1

O enunciado pede a distância entre as retas r1 e s no espaço. Esse é um problema de geometria analítica em R^3 que usamos vetor diretor de cada reta, um ponto em cada reta e a fórmula da distância entre retas recheadas (skew)
d = l|l(P0Q0r)cdotl(v1timesv2r)r|l|v1timesv2r|,
onde v1 e v2 são vetores diretores e P0, Q0 são pontos quaisquer em r1 e s, respectivamente.

Passo 2

Identificamos um ponto e o vetor diretor de cada reta.
Para
podemos tomar
Para
podemos tomar (Q_0=(0,-1,0)] e

Passo 3

Calculamos o produto vetorial v1timesv2.
v1timesv2 = i & j & k -1 & 1 & -2 1 & -3 & 2 = (-4,,0,,2)
E o seu módulo é
l|v1timesv2r| =raiz(-4)^2+0^2+2^2 =raiz20 =2raiz5

Passo 4

Formamos o vetor P0Q0=Q0-P0 e calculamos o produto escalar com v1timesv2.
P0Q0 =(0-2,,-1-3,,0-1) =(-2,,-4,,-1),
l(P0Q0r)cdot(v1timesv2) =(-2)(-4)+(-4)cdot0+(-1)cdot2 =8-2 =6

Passo 5

Aplicando a fórmula da distância:
d =l|l(P0Q0r)cdot(v1timesv2)r||v1timesv2| =|6|2raiz5 =3raiz5 =3raiz55

Resposta

A distância entre as retas é 3raiz55.

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