Determine, quais dos conjuntos abaixxo são espaços vetoriais com as operaçỗes dadas. Para os que não são liste todas as propriedades que falham.
V=[lla & 1 1 & b] in M(2): a, b in R com as operações usuaiss em M(2).

Passo 1

O enunciado define
V = la & 1[6pt]1 & bin M(2,R) : a,binRr
com as operações usuais de soma e multiplicação escalar de matrizes. O conteúdo é verificar se V satisfaz os axiomas de espaço vetorial em relação a essas operações.]

Passo 2

Verificamos o fechamento sob adição. Se
M1=a1 & 11 & b1, M2=a2 & 11 & b2,
então
M1+M2 =a1+a2 & 1+1[4pt]1+1 & b1+b2 =a1+a2 & 22 & b1+b2
Como as entradas off-diagonais ficam iguais a 2neq1, resulta que M1+M2notin V. Logo falha o fechamento sob adição.]

Passo 3

Verificamos o fechamento sob multiplicação escalar. Para alphainR e
M=a & 11 & b,
temos
alpha M =alpha a & alphacdot1[4pt]alphacdot1 & alpha b =alpha a & alphaalpha & alpha b
As entradas off-diagonais passam a ser alpha, que só é 1 se alpha=1. Portanto em geral alpha Mnotin V. Falha o fechamento sob multiplicação escalar.]

Passo 4

Verificamos a existência do vetor nulo. O elemento neutro em M(2,R) é
0 = 0 & 00 & 0,
mas 0notin V pois suas entradas off-diagonais são 0neq1. Logo não há vetor nulo em V.

Passo 5

Verificamos a existência do inverso aditivo. Para
M=a & 11 & b,
o inverso aditivo em M(2,R) seria
-,M = -a & -1-1 & -b,
cuja entrada off-diagonal é -1neq1. Logo -Mnotin V, falhando a existência de inverso aditivo.

Resposta

V não é espaço vetorial.
Propriedades que falham:
  • Fechamento sob adição
  • Fechamento sob multiplicação escalar
  • Existência de elemento neutro aditivo
  • Existência de inverso aditivo.

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